Question

14．已知$\overrightarrow a，\overrightarrow b$是單位向量，$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，若向量c滿足$|{\overrightarrow c-\overrightarrow a+\overrightarrow b}$|=1，則|$|{\overrightarrow c-\overrightarrow b}$|的取值范圍是（　　）

• A． $[{\sqrt{2}-1，\sqrt{2}+1}]$
• B． $[{1，\sqrt{2}+1}]$
• C． [0，2]
• D． $[{\sqrt{5}-1，\sqrt{5}+1}]$

Answer 1

分析 根據題意，可設$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（x，y），求出向量$\overrightarrow{c}$所表示的幾何圖形是什么，再求|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$|所表示的幾何意義，從而求出|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$|的取值范圍．

解答 解：由$\overrightarrow a，\overrightarrow b$是單位向量，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，則可設$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（x，y）；
∵向量$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=1，
∴|（x-1，y+1）|=1，
∴$\sqrt{{（x-1）}^{2}{+（y+1）}^{2}}$=1，
即（x-1）²+（y+1）²=1，
它表示圓心為C（1，-1），半徑為r=1的圓；
又|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$|=|（x，y-1）|=$\sqrt{{x}^{2}{+（y-1）}^{2}}$，它表示圓C上的點到點B（0，1）的距離，如圖所示：
且|BC|=$\sqrt{{1}^{2}{+（-1-1）}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{5}$-1≤|PB|≤$\sqrt{5}$+1；
即|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$|的取值范圍是[$\sqrt{5}$-1，$\sqrt{5}$+1]．
故選：D．

點評 本題考查了向量的垂直與數量積的關系、數量積的運算性質、點與圓上的點的距離大小關系，也考查了推理能力和計算能力，是綜合性題目．