Question

已知f_n（x）=cos（

2nπ

3

+x）（n∈N），則使得函數(shù)f₀（x）+f₁（x）+…+f_n（x）的值域為單元素的最小自然數(shù)n=

 

．

Answer 1

考點：余弦函數(shù)的定義域和值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：取n=2代入函數(shù)解析式，結(jié)合兩角和的余弦展開求得函數(shù)的值域為單元素0，則答案可求．

解答： 解：∵f_n（x）=cos（

2nπ

3

+x）（n∈N），
∴f₀（x）+f₁（x）+…+f_n（x）
=cosx+cos(

2π

3

+x)+cos(

4π

3

+x)+…+cos（

2nπ

3

+x），
取n=2時，f₀（x）+f₁（x）+f₂（x）=cosx+cos

2π

3

cosx-sin

2π

3

sinx+cos

4π

3

cosx-sin

4π

3

sinx
=cosx-

1

2

cosx-

3

2

sinx-

1

2

cosx+

3

2

sinx=0．
函數(shù)f₀（x）+f₁（x）+…+f_n（x）的值域為單元素0．
∴最小自然數(shù)n=2．
故答案為：2．

點評：本題考查了余弦函數(shù)的定義域及其值域，考查了兩角和的余弦，是基礎(chǔ)的計算題．