【題目】已知橢圓C： 的左右焦點與其短軸的一個端點是正三角形的三個頂點，點D 在橢圓C上，直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A、P兩點，與x軸、y軸分別相交于點N和M，且PM=MN，點Q是點P關于x軸的對稱點，QM的延長線交橢圓于點B，過點A、B分別作x軸的垂涎，垂足分別為A1、B1
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得點N平分線段A1B1？若存在，求求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

【答案】
（1）

解：∵橢圓C： 的左右焦點與其短軸的一個端點是正三角形的三個頂點，點D 在橢圓C上，

∴由題意得 ，解得a2=4，b2=3，

∴橢圓C的方程為 ．


（2）

解：假設存在這樣的直線l：y=kx+m，∴M（0，m），N（﹣ ，0），

∵PM=MN，∴P（ ，2m），Q（ ），

∴直線QM的方程為y=﹣3kx+m，

設A（x1，y1），由 ，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，

∴ ，∴ ，

設B（x2，y2），由 ，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，

∴x2+ = ，∴x2=﹣ ，

∵點N平分線段A1B1，∴ ，

∴﹣ =﹣ ，∴k= ，

∴P（±2m，2m），∴ ，解得m= ，

∵|m|= ＜b= ，∴△＞0，符合題意，

∴直線l的方程為y=


【解析】（1）由橢圓的左右焦點與其短軸的一個端點是正三角形的三個頂點，點D 在橢圓C上，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．（2）假設存在這樣的直線l：y=kx+m，則直線QM的方程為y=﹣3kx+m，由 ，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，由 ，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，由此利用根的判別式、韋達定理、中點坐標公式，結合已知條件，能求出直線l的方程．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=2.5cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的部分圖象如圖所示，M、N兩點之間的距離為13，且f（3）=0，若將函數(shù)f（x）的圖象向右平移t（t＞0）個單位長度后所得函數(shù)的圖象關于坐標原點對稱，則t的最小值為（ ）
A.7
B.8
C.9
D.10

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖是2017年第一季度五省GDP情況圖，則下列陳述中不正確的是（　�。�

A. 2017年第一季度總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個

B. 與去年同期相比，2017年第一季度五個省的總量均實現(xiàn)了增長

C. 去年同期河南省的總量不超過4000億元

D. 2017年第一季度增速由高到低排位第5的是浙江省

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]D，其中m＜n，同時滿足：①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]． 則稱函數(shù)f（x）是區(qū)間[m，n]上的“保值函數(shù)”，區(qū)間[m，n]稱為“保值區(qū)間”．
（1）求證：函數(shù)g（x）=x2﹣2x不是定義域[0，1]上的“保值函數(shù)”．
（2）若函數(shù)f（x）=2+ ﹣ （a∈R，a≠0）是區(qū)間[m，n]上的“保值函數(shù)”，求a的取值范圍．
（3）對（2）中函數(shù)f（x），若不等式|a2f（x）|≤2x對x≥1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足 = ．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若a=2 ，求△ABC面積的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)
（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求實數(shù)m的最大值；
（2）當a＜ 時，函數(shù)g（x）=f（x）+|2x﹣1|有零點，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓，點，直線.

（1）求與圓相切，且與直線垂直的直線方程；

（2）在直線上（為坐標原點），存在定點（不同于點），滿足：對于圓上任一點，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點的坐標.

【答案】(1)；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：

（1）設所求直線方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑可得關于b的方程，解方程可得，則所求直線方程為

（2）方法1：假設存在這樣的點，由題意可得，則，然后證明為常數(shù)為即可.

方法2：假設存在這樣的點，使得為常數(shù)，則，據(jù)此得到關于的方程組，求解方程組可得存在點對于圓上任一點，都有為常數(shù).

試題解析：

（1）設所求直線方程為，即，

∵直線與圓相切，∴，得，

∴所求直線方程為

（2）方法1：假設存在這樣的點，

當為圓與軸左交點時，；

當為圓與軸右交點時，，

依題意，，解得，（舍去），或.

下面證明點對于圓上任一點，都有為一常數(shù).

設，則，

∴ ，

從而為常數(shù).

方法2：假設存在這樣的點，使得為常數(shù)，則，

∴，將代入得，

，即

對恒成立，

∴，解得或（舍去），

所以存在點對于圓上任一點，都有為常數(shù).

點睛：求定值問題常見的方法有兩種：

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．

(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．

【題型】解答題
【結束】
22

【題目】已知函數(shù)的導函數(shù)為，其中為常數(shù).

（1）當時，求的最大值，并推斷方程是否有實數(shù)解；

（2）若在區(qū)間上的最大值為-3，求的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，某機械廠要將長，寬的長方形鐵皮進行裁剪．已知點為的中點，點在邊上，裁剪時先將四邊形沿直線翻折到處（點分別落在直線下方點處，交邊于點），再沿直線裁剪．

（1）當時，試判斷四邊形的形狀，并求其面積；

（2）若使裁剪得到的四邊形面積最大，請給出裁剪方案，并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知曲線上任意一點到直線的距離是它到點的距離的2倍.

(1) 求曲線的方程；

(2) 過點的直線與曲線交于兩點.若是的中點,求直線的斜率.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案