Question

求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（1）與橢圓

x2

16

+

y2

25

=1共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)（-2，

10

）的雙曲線；
（2）與雙曲線

x2

16

-

y2

4

=1有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)（3

2

，2）的雙曲線．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意設(shè)所求雙曲線為：

y2

a2

-

x2

9-a2

=1（a＞0），由此利用雙曲線過(guò)點(diǎn)（-2，

10

），能求出雙曲線方程．
（2）由題意設(shè)所求的雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0），從而得到

a2+b2=(±2 5 )2 18 a2 - 4 b2 =1

，由此能求出雙曲線方程．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

16

+

y2

25

=1的焦點(diǎn)F（0，±3），
∴由題意設(shè)所求雙曲線為：

y2

a2

-

x2

9-a2

=1（a＞0），
∵雙曲線過(guò)點(diǎn)（-2，

10

），
∴

10

a2

-

4

9-a2

=1，
整理，得a⁴-23a²+90=0，
解得a²=5，或a²=18（舍）
∴所求雙曲線方程為

y2

5

-

x2

4

=1．
（2）∵雙曲線

x2

16

-

y2

4

=1的焦點(diǎn)為F（±2

5

，0），
∴由題意設(shè)所求的雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0）
∵雙曲線過(guò)點(diǎn)（3

2

，2），
∴

a2+b2=(±2 5 )2 18 a2 - 4 b2 =1

，
解得a²=12，b²=8，
∴所求雙曲線為

x2

12

-

y2

8

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意待定系數(shù)法的合理運(yùn)用．