Question

1．若命題p：“?x∈[-1，1]，ax³-3x+1≥0”為真命題，則實(shí)數(shù)a的值=4．

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=ax³-3x+1，可得f′（x）=3ax²-3，討論a的取值范圍，利用分類討論，求出a的取值范圍即可．

解答 解：設(shè)f（x）=ax³-3x+1，
可得f′（x）=3ax²-3，
（1）當(dāng)a≤0時(shí)，3ax²-3＜0，
函數(shù)f（x）是減函數(shù)，
f（x）_min=f（1）=a-2≥0，
解得a≥2，與已知矛盾；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，可得x=±$\frac{\sqrt{a}}{a}$，
①當(dāng)x＜-$\frac{\sqrt{a}}{a}$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為遞增函數(shù)，
②當(dāng)-$\frac{\sqrt{a}}{a}$＜x＜$\frac{\sqrt{a}}{a}$時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為遞減函數(shù)，
③當(dāng)x＞$\frac{\sqrt{a}}{a}$時(shí)，f（x）為遞增函數(shù)；
所以f（$\frac{\sqrt{a}}{a}$）≥0，f（-1）≥0，
由f（$\frac{\sqrt{a}}{a}$）≥0，解得a≥4，
由f（-1）≥0，解得a≤4，
由f（1）≥0解得2≤a≤4，
綜上，可得a=4．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值問題，考查了分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．