Question

對于數(shù)列{u_n}，若存在常數(shù)M＞0對任意n∈N^*恒有：|u_n+1-u_n|+|u_n-u_n-1|+…+|u₂-u₁|≤M，則稱{u_n}是B-數(shù)列．
（1）首項為1，公比為-

1

2

的等比數(shù)列是否是B-數(shù)列？請說明理由．
（2）若數(shù)列{a_n}是B-數(shù)列，
①證明：{a_n²}也是B-數(shù)列；
②令A(yù)_n=

a1+a2+…+an

n

，求證：數(shù)列{A_n}是B-數(shù)列．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為a_n，則a_n=(-

1

2

)n-1，于是|a_n-a_n-1|=

3

2

×(

1

2

)n-2（n≥2），由此可知首項為1，公比為-

1

2

的等比數(shù)列是B-數(shù)列；
（2）①證明|a_n+1²-a_n²|+|a_n²-a_n-1²|+…+|a₂²-a₁²|≤2（M+|a₁|）即可；
②證明|A_k-A_k+1|≤

1

k(k+1)

（|a₁-a₂|+2|a₂-a₃|+…+k|a_k-a_k+1|），即可證明結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為a_n，則a_n=(-

1

2

)n-1．
于是|a_n-a_n-1|=

3

2

×(

1

2

)n-2（n≥2）
|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|=

3

2

[1+

1

2

+…+(

1

2

)n-1]=3×[1-(

1

2

)n]＜3，
所以所以，該數(shù)列是B-數(shù)列；
（2）①：|a_n+1|≤|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|+|a₁|≤M+|a₁|，
∴|a_n+1|+|a_n|≤2（M+|a₁|），
又|a_n+1²-a_n²|≤[|a_n+1|+|a_n|]|a_n+1-a_n|≤2（M+|a₁|）|a_n+1-a_n|可得
|a_n+1²-a_n²|+|a_n²-a_n-1²|+…+|a₂²-a₁²|≤2（M+|a₁|），
所以，{a_n²}也是B-數(shù)列；
②因為A_k=

a1+a2+…+ak

k

，
所以|A_k-A_k+1|≤

1

k(k+1)

（|a₁-a₂|+2|a₂-a₃|+…+k|a_k-a_k+1|），
∴

n

k=1

|A_k-A_k+1|≤|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|+|a₁|≤M，
所以，數(shù)列{A_n}是B-數(shù)列．

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．