Question

6．已知拋物線y²=4x的焦點到雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一條漸近線的距離為$\frac{1}{2}$，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\sqrt{5}+1$

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點和雙曲線的漸近線方程，運用點到直線的距離公式計算可得a=$\sqrt{3}$b，運用離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：拋物線y²=4x的焦點為（1，0），
雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一條漸近線為y=$\frac{a}$x，
由題意可得d=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
即有a=$\sqrt{3}$b，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用拋物線的焦點和漸近線方程，以及點到直線的距離公式，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．