設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過(guò)點(diǎn)（0，4），離心率為
3
5

（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求過(guò)點(diǎn)（3，0）的動(dòng)直線被C所截線段的中點(diǎn)軌跡方程．
分析：（Ⅰ）由橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過(guò)點(diǎn)（0，4），離心率為
3
5
，知
c
a
=
3
5
16 
b2
=1
a2=b2+c2
，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)（3，0）的直線交橢圓
x2
25
+
y2
16
=1于A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)AB的中點(diǎn)為M（x，y），利用點(diǎn)差法能夠求出過(guò)點(diǎn)（3，0）的動(dòng)直線被C所截線段的中點(diǎn)軌跡方程．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過(guò)點(diǎn)（0，4），離心率為
3
5
，
∴
c
a
=
3
5
16 
b2
=1
a2=b2+c2
，解得a=5，b=4，c=3，
∴橢圓C的方程是
x2
25
+
y2
16
=1．
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)（3，0）的直線交橢圓
x2
25
+
y2
16
=1于A（x1，y1），B（x2，y2），
設(shè)AB的中點(diǎn)為M（x，y），則x1+x2=2x，y1+y2=2y，
把A（x1，y1），B（x2，y2）代入橢圓16x2+25y2=400，
得
16x12+25y12=400，①
16x22+25y22=400，②

①-②，得16（x1+x2）（x1-x2）+25（y1+y2）（y1-y2）=0，
∴32x（x1-x2）+50y（y1-y2）=0，
∴直線AB的斜率k=
y1-y2
x1-x2
=-
16x
25y
，
∵直線AB過(guò)點(diǎn)（3，0），M（x，y），
∴直線AB的斜率k=
y
x-3
，
∴-
16x
25y
=
y
x-3
，整理，得16x2+25y2-48x=0．
當(dāng)k不存在時(shí)，16x2+25y2-48x=0也成立．
故過(guò)點(diǎn)（3，0）的動(dòng)直線被C所截線段的中點(diǎn)軌跡方程是16x2+25y2-48x=0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞1）右焦點(diǎn)為F，它與直線l：y=k（x+1）相交于P、Q兩點(diǎn)，l與x軸的交點(diǎn)M到橢圓左準(zhǔn)線的距離為d，若橢圓的焦距是b與d+|MF|的等差中項(xiàng)．
（1）求橢圓離心率e；
（2）設(shè)N與M關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，若以N為圓心，b為半徑的圓與l相切，且
OP
•
OQ
=-
5
3
求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左．右焦點(diǎn)分別為F1F2，上頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（1）若過(guò)A．Q．F2三點(diǎn)的圓恰好與直線l：x-
3
y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過(guò)右焦點(diǎn)F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M．N兩點(diǎn)．試證明：
1
|F2M|
+
1
|F2N|
為定值；②在x軸上是否存在點(diǎn)P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•鹽城一模）設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恒過(guò)定點(diǎn)A（1，2），則橢圓的中心到準(zhǔn)線的距離的最小值
5
+2
5
+2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若P 是橢圓上的一點(diǎn)，|
PF1
|+|
PF2
|=4，離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P 是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，
PF1
•
PF2
=-
5
4
，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)過(guò)定點(diǎn)P（0，2）的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e=
2
2
，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與直線x-
3
y-3=0相切．
（I）求橢圓C的方程；
（II）直線y=x交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，D為橢圓上異于A、B的點(diǎn)，求△ABD面積的最大值．

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