如圖，四棱錐中，是正三角形，四邊形是矩形，且平面平面，，．

(Ⅰ)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：平面；

（II）試問點(diǎn)在線段上什么位置時，二面角的余弦值為.

 

【答案】

（Ⅰ）見解析；

（II）當(dāng)點(diǎn)在線段的中點(diǎn)時，二面角的余弦值為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）通過連接，應(yīng)用三角形的中位線定理得到證明得到 面．

（II）利用空間直角坐標(biāo)系，確定平面的一個法向量，而平面的法向量，得到，確定出點(diǎn)在線段的中點(diǎn)時，二面角的余弦值為.解答此類問題，要注意發(fā)現(xiàn)垂直關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)刂苯亲鴺?biāo)系，以簡化解題過程.

試題解析：（Ⅰ）證明：連接，設(shè)，連接，

由三角形的中位線定理可得：，

∵平面，平面，∴平面．

（II）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

在中，斜邊,得，所以，.

設(shè)，得.

設(shè)平面的一個法向量，由得，

取，得.

而平面的法向量，所以由題意，即，

解得（舍去）或，所以，當(dāng)點(diǎn)在線段的中點(diǎn)時，二面角的余弦值為.

考點(diǎn)：平行關(guān)系，空間向量的應(yīng)用，二面角的計(jì)算.

 

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖是棱長均為2的正四棱錐的側(cè)面展開圖，M是PA的中點(diǎn)，則在正四棱錐中，PE與FM所成角的正切值為
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖是棱長均為2的正四棱錐的側(cè)面展開圖，E是PA的中點(diǎn)，則在四棱錐中，PB與CE所成角的余弦值為
3
3
3
3
．

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如圖是各條棱的棱長均相等的正四棱錐表面展開圖，T為QS的中點(diǎn)，則在四棱錐中PQ與RT所成角的余弦值為_________.

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如圖，四棱錐P—ABCD中，底面四邊形ABCD是正方形，側(cè)面PDC是邊長為a的正

三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E為PC的中點(diǎn)。
 
         （I）求異面直線PA與DE所成的角；

         （II）求點(diǎn)D到面PAB的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(理)如圖,在四棱錐P—ABCD中,側(cè)面PAD是正三角形且與底面ABCD垂直,底面ABCD是矩形,E是AB的中點(diǎn),PC與平面ABCD所成的角為30°.

(1)若平面PAB∩平面PCD=l,試判斷直線l與平面ABCD的關(guān)系,并加以證明;

(2)求平面PAB與平面PCD所成二面角的大小;

(3)當(dāng)AD為多長時,點(diǎn)D到平面PCE的距離為2?

(文)在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,BB1=2AB=4,E、F分別是棱AB與BC的中點(diǎn).

(1)求二面角EFB1B的平面角的正切值.

(2)在棱DD1上能否找到一點(diǎn)M,使BM⊥平面B1EF?若能,試確定M的位置;若不能,請說明理由.

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