Question

已知奇函數f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），且f（x）在（0，+∞）上是增函數，f（1）=0．
（1）求證：函數f（x）在（-∞，0）上是增函數；
（2）解關于x的不等式f（x）＜0．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：（1）設x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，則有-x₁＞-x₂＞0，然后根據奇函數f（x）在[0，+∞）上為增函數，建立不等關系，化簡即可得到f（x₁）＜f（x₂），從而得到函數的單調性．
（2）分類討論解不等式，即可得出結論．

解答： （1）證明：設x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，則有-x₁＞-x₂＞0，
∵f（x）是[0，+∞）上的增函數∴f（-x₁）＞f（-x₂）
又∵f（x）為R上的奇函數，∴-f（x₁）＞-f（x₂），即f（x₁）＜f（x₂）．
故f（x）是（-∞，0）上的單調增函數；
（2）解：x＞0時，f（x）＜f（1），∴x＜1，∴0＜x＜1；
x＜0時，f（x）＜f（-1），∴x＜-1，∴x＜-1，
∴不等式f（x）＜0的解集為{x|0＜x＜1或x＜-1}．

點評：本題主要考查了函數的奇偶性，以及函數單調性的判斷與證明，屬于中檔題．