Question

如圖所示，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長均為1，且AA₁⊥底面ABC，則三棱錐B₁-ABC₁的體積為（　　）

• A．

  3

  12

• B．

  3

  4

• C．

  6

  12

• D．

  6

  4

Answer 1

分析：根據(jù)題意，三棱柱ABC-A₁B₁C₁是棱長均為1的正三棱柱，算出它的體積V=

3

4

．再根據(jù)錐體的體積公式得三棱錐A-A₁B₁C₁、三棱錐C₁-ABC的體積都等于三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積的

1

3

，由此用三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積減去兩個三棱錐的體積，即可算出三棱錐B₁-ABC₁的體積．

解答：解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長均為1，
∴底面△ABC為正三角形，面積S_△ABC=

3

4

AB2=

3

4

又∵AA₁⊥底面ABC，AA₁=1
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V ABC-A1B1C1=S_△ABC•AA₁=

3

4

∵三棱錐A-A₁B₁C₁、三棱錐C₁-ABC與三棱柱ABC-A₁B₁C₁等底等高
∴V A-A1B1C1=V C1-ABC=

1

3

V ABC-A1B1C1=

3

12

由此可得三棱錐B₁-ABC₁的體積V=V ABC-A1B1C1-V A-A1B1C1-V C1-ABC=

3

12

故選：A

點評：本題給出棱長均為1的正三棱柱，求其中的三棱錐B₁-ABC₁體積．著重考查了正三棱柱的性質(zhì)、柱體和錐體的體積公式等知識，屬于中檔題．