對于函數(shù)f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為函數(shù)f（x）的不動點．已知f（x）=x2+bx+c
（1）當(dāng)b=2，c=-6時，求函數(shù)f（x）的不動點；
（2）已知f（x）有兩個不動點為數(shù)學(xué)公式，求函數(shù)y=f（x）的零點；
（3）在（2）的條件下，求不等式f（x）＞0的解集．

解：（1）f（x）=x2+2x-6，
由f（x）=x
∴x2+x-6=0
∴（x-2）（x+3）=0
∴x=2或x=-3
∴f（x）的不動點為2或-3
（2）∵f（x）有兩個不動點，即f（x）=x有兩個根
∴x2+（b-1）x+c=0
∵，
∴b=1，c=-2
∴f（x）=x2+x-2
令f（x）=0
即（x+2）（x-1）=0
解得x=-2或x=1
∴f（x）的零點為x=1或x=-2
（3）f（x）＞0
∴（x+2）（x-1）＞0
∴x＞1或x＜-2
∴f（x）＞0的解集為（-∞，-2）∪（1，+∞）
分析：（1）設(shè)x為不動點，則有f（x）=x，變形為x2+x-6=0，解方程即可．
（2）根據(jù)題中條件：“f（x）有兩個不動點f（x）=x有兩個根”得x2+（b-1）x+c=0利用根與系數(shù)的關(guān)系得出b，c的值，最后解方程f（x）=0即可得出f（x）的零點．
（3）由題意得f（x）＞0即（x+2）（x-1）＞0，解之即可．
點評：本題主要考查的知識點是二次函數(shù)的性質(zhì)，方程的解法，方程根的情況以及函數(shù)的零點．其中根據(jù)已知中的新定義，構(gòu)造滿足條件的方程是解答本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的一個“穩(wěn)定區(qū)間”．給出下列4個函數(shù)：
①f（x）=（x-1）2；②f（x）=|2x-1|；③f(x)=cos
π2
x；④f（x）=ex．其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有
 
（填出所有滿足條件的函數(shù)序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x），若在其定義域內(nèi)存在兩個實數(shù)a，b（a＜b），使當(dāng)x∈[a，b]時，f（x）的值域也是[a，b]，則稱函數(shù)f（x）為“科比函數(shù)”．若函數(shù)f（x）=k+
x+2
是“科比函數(shù)”，則實數(shù)k的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動點．如果函數(shù)
f（x）=ax2+bx+1（a＞0）有兩個相異的不動點x1，x2．
（1）若x1＜1＜x2，且f（x）的圖象關(guān)于直線x=m對稱，求證：
12
＜m＜1；
（2）若|x1|＜2且|x1-x2|=2，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x），若f（x0）=x0，則稱x0為f（x）的：“不動點”；若f[f（x0）]=x0，則稱x0為f（x）的“穩(wěn)定點”．函數(shù)f（x）的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為A和B，即A={x|f[f（x）]=x}．
（1）設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且A=∅，求證：B=∅；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=3x+4，求集合A和B，并分析能否根據(jù)（1）（2）中的結(jié)論判斷A=B恒成立？若能，請給出證明，若不能，請舉以反例．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x），若存在x0∈R，使得f（x0）=x0，則稱x0為函數(shù)f（x）的不動點．若函數(shù)f（x）=
x2+a
bx-c
（b，c∈N*）有且僅有兩個不動點0和2，且f（-2）＜-
1
2
．
（1）試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，
（2）已知各項不為0的數(shù)列{an}滿足4Sn•f（
1
an
）=1，其中Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，求證：(1-
1
an
)an+1＜
1
e
＜(1-
1
an
)an
（3）在（2）的前題條件下，設(shè)bn=-
1
an
，Tn表示數(shù)列{bn}的前n項和，求證：T2011-1＜ln2011＜T2010．

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