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16.已知函數(shù)fx=alnx+2a2x+xaR
(1)當(dāng)a=1時(shí),討論函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性;
(2)若對任意m,n∈(0,2)且m≠n,有fmfnmn1恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)令g(x)=f(x)-x=alnx+2a2x,通過討論m,n的大小,得到g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,通過討論a的范圍,確定函數(shù)g(x)的單調(diào)性,從而確定a的具體范圍即可.

解答 解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+∞),
a=1時(shí),f(x)=lnx+2x+x,f′(x)=1x-2x2+1=x2+x2x2=x+2x1x2,
令f′(x)>0,解得:x>1,令f′(x)<0,解得:0<x<1,
故f(x)在(0,1)遞減,在(1,+∞)遞增;
(2)若m>n,由fmfnmn1
得f(m)-m<f(n)-n
若m<n,由fmfnmn1,
得f(m)-m>f(n)-n
令g(x)=f(x)-x=alnx+2a2x
g′(x)=ax2ax2(x>0)
∵g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,
∴①當(dāng)a=0時(shí),g′(x)=0,不符合題意;
②當(dāng)a>0時(shí),由g′(x)<0得0<x<2a,
所以g(x)在(0,2a)上遞減,
所以2≤2a,即a≥1;
③當(dāng)a<0時(shí),在(0,+∞)上,都有g(shù)′(x)<0,
所以g(x)在(0,+∞)上遞減,即在(0,2)上也單調(diào)遞減,
綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,0)∪[1,+∞).

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,是一道中檔題.

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