Question

（08年西城區(qū)抽樣測(cè)試?yán)恚��?4分）

數(shù)列中，， (為常數(shù)，) ，且

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）① 證明：；

② 猜測(cè)數(shù)列是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）；

（Ⅲ）比較與的大小，并加以證明.

Answer 1

解析：（Ⅰ）依題意，

由，得，

解得，或（舍去）.                                                ………….. 3分

（Ⅱ）解：

① 證明：因?yàn)?IMG height=41 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090421/20090421112716006.gif' width=267>，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.

因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090421/20090421112716009.gif' width=36>，所以，即  () .                      ………….. 5分

② 數(shù)列有極限，    ……….. 6分      且 .                      ………….. 7分                                        

（Ⅲ）解：

由，可得，

從而.

因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090421/20090421112716009.gif' width=36>，所以

所以

………….. 9分

因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090421/20090421112716009.gif' width=36>，由（Ⅱ）① 得   ().      

下面證明：對(duì)于任意，有成立.

當(dāng)時(shí)，由，顯然結(jié)論成立.

假設(shè)結(jié)論對(duì)時(shí)成立，即

因?yàn)?IMG height=39 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090421/20090421112717027.gif' width=212>，且函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，

所以.

即當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立.       于是，當(dāng)時(shí)，有成立.        

根據(jù)得 .                                                   ………….. 12分

由 及， 經(jīng)計(jì)算可得

所以，當(dāng)時(shí)， ；      當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，由，  得.

                                                                          ………….. 14分