如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=2
2

(1)求證:平面ABC⊥平面APC
(2)求直線(xiàn)PA與平面PBC所成角的正弦值;
(3)若動(dòng)點(diǎn)M在底面三角形ABC上,二面角M-PA-C的余弦值為
2
2
3
,求BM的最小值.
分析:(1)證明平面ABC⊥平面APC,利用線(xiàn)面垂直證明,即證OP⊥平面ABC;
(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB、OC、OP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量,求出平面PBC的法向量
n1
=(
3
3
,1)
,利用向量的夾角公式,即可得到直線(xiàn)PA與平面PBC所成角的正弦值;
(3)平面PAC的法向量
n2
=
OB
=(2,0,0)
,求出平面PAM的法向量,利用二面角M-PA-C的余弦值為
2
2
3
,可得n+2=
32
3
m,從而可求B點(diǎn)到AM的最小值.
解答:(1)證明:取AC中點(diǎn)O,因?yàn)锳P=BP,所以O(shè)P⊥OC  
由已知,可得△ABC為直角三角形,∴OA=OB=OC,△POA≌△POB≌△POC,∴OP⊥OB
∵OB∩OC=O
∴OP⊥平面ABC,
∵OP?平面PAC,∴平面ABC⊥平面APC(4分)
(2)解:以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB、OC、OP分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),
C(0,2,0),P(0,0,2
3
),(5分)
AP
=(0,2,2
3
),
AM
=(m,n+1,0)

設(shè)平面PBC的法向量
-2x+2y=0
2x-2
3
z=0
,
-2x+2y=0
2x-2
3
z=0
得方程組
-2x+2y=0
2x-2
3
z=0
,取
n1
=(
3
,
3
,1)
(6分)
cos<
AP
,
n1
>=
21
7

∴直線(xiàn)PA與平面PBC所成角的正弦值為
21
7
.                             (8分)
(3)解:由題意平面PAC的法向量
n2
=
OB
=(2,0,0)

設(shè)平面PAM的法向量為
n3
=(x,y,z)
,M=(m,n,0)
AP
=(0,2,2
3
),
AM
=(m,n+2,0),
AP
n3
=0
,
AM
n3
=0

2y+2
3
z=0
mx+(n+2)y=0

取y=-1,可得
n3
=(
n+2
m
,-1,
3
3
)

cos<
n2
,
n3
>=
2(n+2)
m
2
(
n+2
m
)2+1+
1
3
=
2
2
3

∴n+2=
32
3
m(11分)
∴BM的最小值為垂直距離d=
8
70
-2
105
35
.     (12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查面面垂直,考查線(xiàn)面角,考查平面法向量的求解,解題的關(guān)鍵是掌握面面垂直的判定,正確求出平面的法向量.
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1
2
,x,y),且
1
x
+
a
y
≥8恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值為
 

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3
,則PA=
1
1

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精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BCA=90°,AP=AC,點(diǎn)D,E分別在棱
PB,PC上,且BC∥平面ADE
(I)求證:DE⊥平面PAC;
(Ⅱ)當(dāng)二面角A-DE-P為直二面角時(shí),求多面體ABCED與PAED的體積比.

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