Question

矩形ABCD中，AD=2，AB=3，E為AD的中點，P為邊AB上一動點，則tan∠DPE的最大值為（　�。�

• A、

  2

  2

• B、

  2

  3

• C、

  2

  4

• D、1

Answer 1

考點：正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值,解三角形,不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)AP=x，分別表示出tan∠DPA和tan∠EPA，通過兩角和公式表示tan∠DPE，整理后利用基本不等式求得其最大值．

解答： 解：設(shè)AP=x，x＞0，
則tan∠DPA=

2

x

，tan∠EPA=

1

x

，
∴tan∠DPE=tan（∠DPA-∠EPA）=

tan∠DPA-tan∠EPA

1+tan∠EPAtan•∠EPA

=

2 x - 1 x

1+ 2 x • 1 x

=

1

x+ 2 x

，
∵x+

2

x

≥2

2

，當且僅當x=

2

時，取等號，
0＜

1

x+ 2 x

≤

1

2 2

=

2

4

，即tan∠DPE≤

2

4

，
即tan∠DPE的最大值為

2

4

，
故選C．

點評：本題主要考查利用解三角形的問題．利用了設(shè)而不求的方式，借助三角函數(shù)恒等變換和基本不等式的性質(zhì)解決問題．