Question

6．已知點P是橢圓Г：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上的一點，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的左、右焦點，若∠F₁PF₂=60°，且△PF₁F₂的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，則橢圓的離心率是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由∠F₁PF₂=60°，△PF₁F₂的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，可得|PF₁|•|PF₂|．再根據(jù)橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a，利用余弦定理得到a，c的關系，即可求出橢圓的離心率．

解答 解：由∠F₁PF₂=60°，△PF₁F₂的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，可得$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|•sin∠F₁PF₂=$\frac{\sqrt{3}}{4}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，
∴|PF₁|•|PF₂|=a²．
再根據(jù)橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a．
再利用余弦定理可得4c²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|•cos60°=（|PF₁|+|PF₂|）²-3PF₁•PF₂=4a²-3a²，
求得a=2c，∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查余弦定理，橢圓的定義、標準方程，以及簡單性質(zhì)的應用，屬于中檔題．