Question

2．中國(guó)傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚(yú)形紋組成的圓形圖案，充分展現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱統(tǒng)一的形式美、和諧美．給出定義：能夠?qū)�圓O的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分的函數(shù)稱為這個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”．給出下列命題：
①對(duì)于任意一個(gè)圓O，其“優(yōu)美函數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè)；
②函數(shù)f（x）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）可以是某個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”；
③余弦函數(shù)y=f（x）可以同時(shí)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”；
④函數(shù)y=f（x）是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形．
其中正確的命題是①②④（寫出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 利用新定義逐個(gè)判斷函數(shù)是否滿足新定義即可．

解答 解：①對(duì)于任意一個(gè)圓O，其“優(yōu)美函數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè)，注意函數(shù)是奇函數(shù)，即可得到結(jié)果．①是“優(yōu)美函數(shù)”．
②函數(shù)f（x）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）可以是某個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”；
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）是奇函數(shù)，滿足優(yōu)美函數(shù)的定義，所以②滿足題意；
③余弦函數(shù)y=f（x）=cosx是偶函數(shù)，不可以同時(shí)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”；所以③不正確．
④函數(shù)y=f（x）是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，它的圖象是中心對(duì)稱圖形．所以④滿足題意．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，命題真假的判斷，新定義的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．