Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，點M、N分別在線段AB₁、BC₁上，且AM=BN．以下結論：
①AA₁⊥MN；
②MN∥平面A₁B₁C₁D₁；
③MN與A₁C₁異面；
④點B₁到面BDC₁的距離為；⑤若點M、N分別為線段AB₁、BC₁的中點，則由線MN與AB₁確定的平面在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 上的截面為等邊三角形．其中有可能成立的結論為    ．

Answer 1

【答案】分析：①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，可得四邊形MNEF是矩形，可得MN∥FE，利用AA₁⊥面AC，可得結論成立；
②由①知，MN∥面AC，面AC∥平面A₁B₁C₁D₁，故MN∥平面A₁B₁C₁D₁；
③MN∥FE，F(xiàn)E與AC所在直線相交時，MN與A₁C₁異面，；
④根據(jù)V_B1-BDC1=V_D-BB1C1，可求點B₁到面BDC₁的距離；
⑤截面為△AB₁N，為等腰三角形，故⑤不正確．
解答：解：①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，∵AM=BN，∴NE=MF，∴四邊形MNEF是矩形，∴MN∥FE，∵AA₁⊥面AC，EF?面AC，∴AA₁⊥EF，∴AA₁⊥MN，故①正確；
②由①知，MN∥面AC，面AC∥平面A₁B₁C₁D₁，∴MN∥平面A₁B₁C₁D₁，故②正確；
③MN∥FE，F(xiàn)E與AC所在直線相交時，MN與A₁C₁異面，F(xiàn)E與AC平行時，則平行，故③可能成立；
④設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱長為1，點B₁到面BDC₁的距離為h，根據(jù)V_B1-BDC1=V_D-BB1C1，可得=××1×1×1，∴h=，故④正確；
⑤點M、N分別為線段AB₁、BC₁的中點，則由線MN與AB₁確定的平面在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 上的截面為△AB₁C，為等腰三角形，故⑤不正確．
綜上可知，①②③④
故答案為：①②③④
點評：本題考查線面平行、垂直，考查點到面的距離的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．