Question

設(shè)函數(shù)f（x）對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，f（x）＞0，f（1）=1．
（1）求f（0）的值；
（2）求證：f（x）為奇函數(shù)；
（3）判斷f（x）的單調(diào)性，并證明；
（4）當(dāng)-3≤x≤3時，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的值域,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）可利用賦值法進行，令x=y=0求出f（0）=0，
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性定義進行判定，該函數(shù)是抽象函數(shù)，故可利用賦值法進行，令y=-x，即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)題意先證明單調(diào)性，用單調(diào)性定義，先設(shè)設(shè)x₁，x₂是 （-∞，+∞）上的任意兩個實數(shù)，且x₁＜x₂，f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）再由x＞0時，f（x）＜0來判斷符號，從而得到函數(shù)的單調(diào)性．
（4）可利用賦值法，求出f（3）的值，再根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，求出f（-3），再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得范圍．

解答： 證明：（1）由已知f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0得  f（0）=0，
（2）令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x），
∴f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）為奇函數(shù)．
（2）設(shè)x₁，x₂是 （-∞，+∞）上的任意兩個實數(shù)，且x₁＜x₂，
∵x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＞0，
由（1）知f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在R上為增函數(shù)；
（4）令x=y=1，得f（2）=2f（1）=2，
再令x=1，y=2．得f（3）=f（2）+f（1）=2+1=3，
∴f（-3）=-f（3）=-3，
又f（x）在R上為增函數(shù)減函數(shù)，當(dāng)-3≤x≤3時，
f（x）在[-3，3]上的最大值為：f（3）=3，最小值為：f（-3）=-3，
∴f（x）的取值范圍為[-3，3]

點評：本題考查的是抽象函數(shù)，涉及到其單調(diào)性和最值，解決這類問題關(guān)鍵是利用好條件，將問題轉(zhuǎn)化到函數(shù)性質(zhì)的定義上去應(yīng)用．