(1)已知α,β∈(0,
π
2
)
,且tanα•tanβ<1,比較α+β與
π
2
的大;
(2)試確定一個(gè)區(qū)間D,D⊆(-
π
2
,
π
2
)
,對(duì)任意的α、β∈D,當(dāng)α+β<
π
2
時(shí),恒有sinα<cosβ;并說(shuō)明理由.
說(shuō)明:對(duì)于第(2)題,將根據(jù)寫(xiě)出區(qū)間D所體現(xiàn)的思維層次和對(duì)問(wèn)題探究的完整性,給予不同的評(píng)分.
分析:(1)利用正切化為正弦、余弦,和角公式求出cos(α+β)>0,根據(jù)α,β∈(0,
π
2
)
,推出α+β與
π
2
的大。
(2)直接在D⊆(-
π
2
,
π
2
)
內(nèi)找出一個(gè)子區(qū)間,區(qū)間是固定的,也可以是變化的,對(duì)任意的α、β∈D,當(dāng)α+β<
π
2
時(shí),恒有sinα<cosβ,利用函數(shù)的單調(diào)性,三角函數(shù)的符合特征,加以證明即可.
解答:解:(1)∵tanα•tanβ<1,α,β∈(0,
π
2
)

sinα•sinβ
cosα•cosβ
<1=>sinα•sinβ<cosα•cosβ
(2分)=>cos(α+β)>0(2分)
∵α+β∈(0,π)
α+β<
π
2
(2分)
(2)第一類解答:(1)若取D=(-
π
2
,0)
或取D=[-
π
3
,-
π
6
]
等固定區(qū)間且D是(-
π
2
,0)
的子集并說(shuō)明理由者給(2分),
(2)若取D=[γ1,γ2],-
π
2
γ1γ2<0
,并說(shuō)明理由者給(3分)
理由:
若取D=(-
π
2
,0)
,α+β<
π
2
,
則-1<sinα<0,0<cosβ<1,即sinα<cosβ;
第二類解答:(1)若取D=(0,
π
2
)
或取D=[
π
6
π
3
]
等固定區(qū)間且D是(0,
π
2
)
的子集,且解答完整得(4分)
(2)若取D是(0,
π
2
)
的子集且區(qū)間的一端是變動(dòng)者.且解答完整得(5分)
(3)若取D=[γ1,γ2],0<γ1γ2
π
2
,且解答完整得(6分)
取D=[γ1,γ2],0<γ1γ2
π
2

證明如下,設(shè)α,β∈[γ1,γ2],0<γ1γ2
π
2

α+β<
π
2
,
α<
π
2

因?yàn)?γ2≤-β≤γ1,
π
2
-γ2
π
2
-β≤
π
2
-γ1
,
π
2
-γ2>0
,
π
2
-γ1
π
2

即:
π
2
-β∈(0,
π
2
)
,于是由α,β∈[γ1,γ2],0<γ1γ2
π
2
,且α<
π
2

以及正弦函數(shù)的單調(diào)性得:0<sinα<sin(
π
2
-β)
,即:0<sinα<cosβ
第三類解答:
(1)若取D=(-
π
4
,
π
4
)
或取D=[-
π
6
,
π
6
]
等固定區(qū)間且D是(-
π
4
,
π
4
)
的子集(兩端需異號(hào)),且解答完整得(6分)
(2)若取D是(-
π
4
,
π
4
)
的子集且區(qū)間的一端是變動(dòng)者(兩端需異號(hào)).且解答完整得(7分)
(3)若取取D=[γ1,γ2],-
π
4
γ1γ2
π
4
,(γ1與γ2需異號(hào))且解答完整得(8分)
若取D=(-
π
4
π
4
)
,
因?yàn)椋?span id="bfxtnbp" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">-
π
4
<α<
π
4
,-
π
4
<β<
π
4
,
-
π
4
<-β<
π
4

亦有:
π
4
π
2
-β<
4

這時(shí),-
2
2
<sinα<
2
2
,
2
2
<sin(
π
2
-β)≤1

2
2
<sin(
π
2
-β)≤1
2
2
<cosβ≤1
,
所以有sinα<cosβ.
(如出現(xiàn)其它合理情況,可斟酌情形給分,但最高不超過(guò)8分).
點(diǎn)評(píng):本題考查比較大小,正弦函數(shù)的單調(diào)性,考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,是中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)已知-
π
2
<x<0,sinx+cosx=
1
5
,求sinxcosx和sinx-cosx的值.
(2)已知tanα=2,求2sin2α-3sinαcosα-2cos2α的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

本題有(1)、(2)、(3)三個(gè)小題,每題7分,請(qǐng)考生任選2題作答,滿分14分,如果多做,則按所做的前兩題計(jì)分
(1)已知
10
12
B=
-43
4-1
,求矩陣B.
(2)已知極點(diǎn)與原點(diǎn)重合,極軸與x軸正半軸重合,若曲線C1的極坐標(biāo)方程為:ρcos(θ-
π
4
)=
2
,曲線C2的參數(shù)方程為:
x=2cosθ
y=
3
sinθ
(θ為參數(shù)),試求曲線C1、C2的交點(diǎn)的直角坐標(biāo).
(3)已知x2+2y2+3z2=
18
17
,求3x+2y+z的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)已知集合A={x|x2=1},B={x|ax=1},若A∪B=A,求實(shí)數(shù)a的值.
(2)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A⊆U,B⊆U,且(?UA)∩B={1,9},A∩B={2},(?UA)∩(?UB)={4,6,8},求集合A、B.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)已知點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為(3,
π
4
),(4,
π
2
),求它們的直角坐標(biāo);已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(3,
3
),(0,3),求它們的極坐標(biāo)
(2)把下面的直角坐標(biāo)方程化成極坐標(biāo)方程;極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程
①2x-3y-1=0
②ρ=2cosθ-4sinθ

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出下列各題
(1)已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(9,3),則f(100)=10
(2)函數(shù)y=
|x-2|-2
4-x2
的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

(3)y=x與y=
x2
是同一函數(shù)

(4)若函數(shù)f(x)=a-x在R上是增函數(shù),則a>1
(5)函數(shù)f(x)=x2且x∈[-1,2],則f(x)是偶函數(shù).
則以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為( 。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案