Question

15．已知函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），若x²f′（x）+xf（x）=sinx（x∈（0，6），f（π）=2，則下列結論正確的是（　�。�

• A． xf（x）在（0，6）單調遞減
• B． xf（x）在（0，6）單調遞增
• C． xf（x）在（0，6）上有極小值2π
• D． xf（x）在（0，6）上有極大值2π

Answer 1

分析 設g（x）=xf（x），得到g′（x）=[xf（x）]′=$\frac{sinx}{x}$，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間，得到函數(shù)的極大值，從而求出答案．

解答 解：∵x²f′（x）+xf（x）=sinx（x∈（0，6），
∴xf′（x）+f（x）=$\frac{sinx}{x}$，
設g（x）=xf（x），則g′（x）=[xf（x）]′=$\frac{sinx}{x}$，
由g′（x）＞0，解得：0＜x＜π，g′（x）＜0，解得：π＜x＜6，
∴x=π時，函數(shù)g（x）=xf（x）取得最大值g（π）=πf（π）=2π，
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、極值問題，考查導數(shù)的應用，構造函數(shù)g（x）=xf（x）是解題的關鍵，本題是一道中檔題．