Question

已知函數(shù)f（x）=|x-1|
（Ⅰ）解不等式f（2x）+f（x+4）≥8；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求證：

f(ab)

|a|

＞f(

b

a

)．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用,推理和證明

分析：（Ⅰ）依題意，f（2x）+f（x+4）=|2x-1|+|x+3|=

-3x-2，x＜-3 4-x，-3≤x＜ 1 2 3x+2，x≥ 1 2

，利用分段函數(shù)分段解不等式f（2x）+f（x+4）≥8，即可求得其解集．
（Ⅱ）|a|＜1，|b|＜1，

f(ab)

|a|

＞f(

b

a

)?f（ab）＞|a|f（

b

a

）?|ab-1|＞|a-b|，要證該不等式成立，只需證明|ab-1|²-|a-b|²＞0即可．

解答： （Ⅰ）解：f（2x）+f（x+4）=|2x-1|+|x+3|=

-3x-2，x＜-3 4-x，-3≤x＜ 1 2 3x+2，x≥ 1 2

，
當(dāng)x＜-3時，由-3x-2≥8，解得x≤-

10

3

；
當(dāng)-3≤x＜

1

2

時，由-x+4≥8，解得x∈∅；
當(dāng)x≥

1

2

時，由3x+2≥8，解得x≥2…4分
所以，不等式f（2x）+f（x+4）≥8的解集為{x|x≤-

10

3

或x≥2}…5分；
（Ⅱ）證明：

f(ab)

|a|

＞f(

b

a

)等價于f（ab）＞|a|f（

b

a

），即|ab-1|＞|a-b|，
因?yàn)閨a|＜1，|b|＜1，
所以|ab-1|²-|a-b|²=（a²b²-2ab+1）-（a²-2ab+b²）=（a²-1）（b²-1）＞0，
所以，|ab-1|＞|a-b|，故所證不等式成立…10分．

點(diǎn)評：本題考查絕對值不等式的解法，著重考查分類討論思想與等價轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)用，考運(yùn)算及推理、證明能力，屬于中檔題．