Question

如圖所示，在多面體ABCD-EFG中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，平面ABG、平面ADF、平面CDE都與平面ABCD垂直，且△ABG、△ADF、△CDE都是正三角形．
（Ⅰ）求證：AC∥EF；
（Ⅱ）求四棱錐F-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據線面平行的性質或利用向量法證明AC∥EF；
（Ⅱ）求根據四棱錐的體積公式求四棱錐F-ABCD的體積．

解答：（Ⅰ） 證明：方法一，如圖，分別取AD、CD的中點P、Q，連接FP，EQ．
∵△ADF和△CDE是為2的正三角形，
∴FP⊥AD，EQ⊥CD，且FP=EQ=

3

．
又∵平面ADF、平面CDE都與平面ABCD垂直，
∴FP⊥平面ABCD，EQ⊥平面ABCD
∴FP∥QE且FP=EQ，
∴四邊形EQPF是平行四邊形，
∴EF∥PQ．
∵PQ是△ACD的中位線，
∴PQ∥AC，
∴EF∥AC．
方法二，以A點作為坐標原點，以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸，過點A垂直于xoy平面的直線為z軸，建立空間直角坐標系，
如圖所示．
根據題意可得，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），E（1，2，

3

），
F（0，1，

3

），G（1，0，

3

）．
∴

AC

=（2，2，0），

FE

=（1，1，0），則

AC

=2

FE

，
∴

AC

∥

FE

，
即有AC∥FE．
（Ⅱ）∵AC∥FE，AC?面ABCD，EF?面ABCD，
∴EF∥面ABCD，
則E到底面面ABCD的距離，即為到底面面ABCD的距離，
∵平面CDE都與平面ABCD垂直，△CDE是正三角形，
∴△CDE的高即為四棱錐F-ABCD的高，
則四棱錐F-ABCD的高為

3

，
∴四棱錐F-ABCD的體積為

1

3

×2×2×

3

=

4 3

3

．

點評：本題主要考查空間幾何體的體積公式和空間直線位置關系的判斷，要求熟練掌握相應的判定定理和性質定理．