Question

如圖：在多面體EF-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，△EAD為正三角形，且平面EAD平面ABCD，EF∥AB, AB=2EF=2AD=4，.

（Ⅰ）求多面體EF-ABCD的體積；
（Ⅱ）求直線BD與平面BCF所成角的大�。�

Answer 1

(1)5(2)

試題分析：解（Ⅰ）如圖.取AD的中點(diǎn)G，正△EAD中, ，又AD=2，故 ，又因?yàn)槠矫鍱AD平面ABCD，所以，多面體EF-ABCD的體積，而四邊形ABCD的面積，所以；設(shè)AB的中點(diǎn)為H，因?yàn)锳B=2EF，所以FH∥AE，所以，所以，所以，故所求多面體EF-ABCD的體積是5

（Ⅱ）連接EH，由題設(shè)知EF=HB,又EF∥AB，所以四邊形EHBF是平行四邊形，連接GH，在△AGH中，AH=2AG=2，.故，即，又,所以平面EGH，
，又因?yàn)锽F∥EH，所以AD BF，在平行四邊形ABCD中，BC∥AD，所以BC⊥BF；又GH⊥AD， GH∥ BD，所以BD ⊥AD，而BC∥AD，故BC⊥BD，所以BC⊥平面DFB，BC平面BCF，所以平面BCF⊥平面DFB，所以點(diǎn)D在平面BCF上的射影P點(diǎn)在BF上，所以∠FBD就是直線BD與平面BCF所成的角，在△BFD中， BF=HE=，又BC⊥平面DFB，所以，平面FBD⊥面ABCD，故F點(diǎn)在平面ABCD上的射影K在BD上，且FK=EG=，所以，故求直線BD與平面BCF所成角是。
（第（Ⅱ）小題也可用向量解答，略）
點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是利用空間中的幾何體的分割法來得到不規(guī)則幾何體的體積的求解，對于角的求解可以運(yùn)用幾何法也可以運(yùn)用向量法來得到。屬于基礎(chǔ)題。