【題目】選修4﹣4:極坐標(biāo)與參數(shù)方程
極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長度單位,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸.已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為 ,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=a(a>0),射線 , 與曲線C1分別交異于極點(diǎn)O的四點(diǎn)A,B,C,D.
(Ⅰ)若曲線C1關(guān)于曲線C2對稱,求a的值,并把曲線C1和C2化成直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)求|OA||OC|+|OB||OD|的值.
【答案】解:(Ⅰ)C1:即 ρ2=2 ρ( sinθ+ cosθ)=2ρsinθ+2ρcosθ,
化為直角坐標(biāo)方程為 (x﹣1)2+(y﹣1)2=2.
把C2的方程化為直角坐標(biāo)方程為 y=a,因為曲線C1關(guān)于曲線C2對稱,故直線y=a經(jīng)過圓心(1,1),
解得a=1,故C2的直角坐標(biāo)方程為 y=1.
(Ⅱ)由題意可得, ; φ; ; =2 cos( +φ),
∴|OA||OC|+|OB||OD|=8sin(φ+ )sinφ+8cos( +φ)cosφ=8cos[( +φ)﹣φ]=8× =4
【解析】(Ⅰ)把C1、把C2的方程化為直角坐標(biāo)方程,根據(jù)因為曲線C1關(guān)于曲線C2對稱,可得直線y=a經(jīng)過圓心(1,1),求得a=1,故C2的直角坐標(biāo)方程.(Ⅱ)由題意可得, ; φ; ; =2 cos( +φ),再根據(jù)|OA||OC|+|OB||OD|=8sin(φ+ )sinφ+8cos( +φ)cosφ=8cos ,計算求得結(jié)果.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,證明: 為偶函數(shù);
(2)若在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若,求實數(shù)的取值范圍,使在上恒成立.
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【題目】為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為藥, 藥)的療效,隨機(jī)地選取18位患者服用藥,18位患者服用藥,這36位患者服用一段時間后,記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r間(單位:),試驗的觀測結(jié)果如下:
服用藥的18位患者日平均增加的睡眠時間:
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3
服用藥的18位患者日平均增加的睡眠時間:
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7
(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(小數(shù)點(diǎn)后保留兩位小數(shù)),從計算結(jié)果看哪種藥療效更好?
(2)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖,從莖葉圖看,哪種藥的療效更好?并說明理由.
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【題目】已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點(diǎn)是直線上的動點(diǎn),過作直線與圓相切,切點(diǎn)分別為、,若使四邊形的面積最小,求此時點(diǎn)的坐標(biāo).
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【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+1.
(Ⅰ)證明:當(dāng)x>0時,f(x)≤x;
(Ⅱ)設(shè) ,若g(x)≥0對x>0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四邊形ACFE為矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.
(Ⅰ)求證:BC⊥平面ACFE;
(Ⅱ)點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動,設(shè)平面MAB與平面FCB所成二面角的平面角為θ(θ≤90°),試求cosθ的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我市物價監(jiān)督部門為調(diào)研某公司新開發(fā)上市的一種產(chǎn)品銷售價格的合理性,對該公司的產(chǎn)品的銷售與價格進(jìn)行了統(tǒng)計分析,得到如下數(shù)據(jù)和散點(diǎn)圖:
定價(元/) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
年銷售 | 1150 | 643 | 424 | 262 | 165 | 86 |
14.1 | 12.9 | 12.1 | 11.1 | 10.2 | 8.9 |
圖(1)為散點(diǎn)圖,圖(2)為散點(diǎn)圖.
(Ⅰ)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與,與哪一對具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性(不必證明);
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的判斷結(jié)果和參考數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程(線性回歸方程中的斜率和截距均保留兩位有效數(shù)字);
(Ⅲ)定價為多少時,年銷售額的預(yù)報值最大?(注:年銷售額定價年銷售)
參考數(shù)據(jù):,,,,, ,,,
參考公式:,.
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【題目】某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y(單位:萬元)之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù):
x | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
y | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
(1)若廣告費(fèi)與銷售額具有相關(guān)關(guān)系,求回歸直線方程;
(2)在已有的五組數(shù)據(jù)中任意抽取兩組,求兩組數(shù)據(jù)其預(yù)測值與實際值之差的絕對值都不超過5的概率.
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