Question

已知向量

a

=(cosα，1)，

b

=(-2，sinα)，α∈(π，

3π

2

)，且

a

⊥

b

．
（Ⅰ）求sinα的值；  
（Ⅱ）求tan2α的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由 兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)建立方程可求得cosα=

1

2

sinα，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及角α的范圍求出sinα=-

2 5

5

，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得cosα=-

5

5

，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cosα=-

5

5

，進(jìn)而求得tanα的值，再由二倍角公式求出tan2α的值．

解答：解：（Ⅰ）由向量

a

=(cosα，1)，

b

=(-2，sinα)，且

a

⊥

b

．
可得

a

•

b

=（cosα，1）•（-2，sinα）=0．
即-2cosα+sinα=0． 所以cosα=

1

2

sinα．（3分）
因?yàn)閟in²α+cos²α=1，所以sin2α=

4

5

．
因?yàn)?span id="535pvhh" class="MathJye">α∈(π，

3π

2

)，所以sinα=-

2 5

5

．（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得cosα=-

5

5

．
再由 sinα=-

2 5

5

，則得 tanα=2．（8分）
故 tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

4

-3

=-

4

3

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．