閱讀下面所給材料:已知數(shù)列{an},a1=2,an=3an-1+2,求數(shù)列的通項(xiàng)an
解:令an=an-1=x,則有x=3x+2,所以x=-1,故原遞推式an=3an-1+2可轉(zhuǎn)化為:
an+1=3(an-1+1),因此數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為a1+1,公比為3的等比數(shù)列.
根據(jù)上述材料所給出提示,解答下列問(wèn)題:
已知數(shù)列{an},a1=1,an=3an-1+4,
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)an;并用解析幾何中的有關(guān)思想方法來(lái)解釋其原理;
(2)若記Sn=,求Sn;
(3)若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足:b1=10,bn+1=100bn3,利用所學(xué)過(guò)的知識(shí),把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可以用閱讀材料的提示,求出解數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn
【答案】分析:(1)根據(jù)已知材料可令an=an-1=x,則有x=3x+4,可得x=-2,故原遞推式an=3an-1+4可轉(zhuǎn)化為:
an+2=3(an-1+2),因此數(shù)列{an+2}是等比數(shù)列可求an,對(duì)于an=3an-1+4,可以看成把直線(xiàn)y=3x+4的方程改寫(xiě)成點(diǎn)斜式方程.
(2)令dk==(2-).利用裂項(xiàng)求和可得Sn==(2[],然后求極限.
(3)數(shù)列{bn}滿(mǎn)足:b1=10,bn+i=100bn3,所以bn>0,lgbn+i=lg(100bn3
令cn=lgbn,則cn+1=3cn+2,從而可求cn,進(jìn)一步可求bn
解答:解:(1)令an=an-1=x,則有x=3x+4,所以x=-2,故原遞推式an=3an-1+4可轉(zhuǎn)化為:
an+2=3(an-1+2),因此數(shù)列{an+2}是首項(xiàng)為a1+2,公比為3的等比數(shù)列.
所以an+2=(a1+2)×3n-1,所以an=3n-2;
對(duì)于an=3an-1+4,可以看成把直線(xiàn)y=3x+4的方程改寫(xiě)成點(diǎn)斜式方程,
該點(diǎn)就是它與直線(xiàn)y=x的交點(diǎn).
(2)令dk==
=(2=(2-
Sn==d1+d2+…+dn
=(2[()+()+()++()]
=(2[]
Sn=(2
(3)數(shù)列{bn}滿(mǎn)足:b1=10,bn+i=100bn3,所以bn>0,lgbn+i=lg(100bn3
令cn=lgbn,則cn+1=3cn+2,
所以cn+2=3(cn-1+2),因此數(shù)列{cn+2}是首項(xiàng)為c1+2,公比為3的等比數(shù)列.
所以cn+2=(c1+2)×3n-1,所以cn=3n-2,
lgbn=cn=3n-2;bn=
點(diǎn)評(píng):本題以新定義為載體,主要考查了由形如an+1=pan+q型的數(shù)列的遞推公式,利用構(gòu)造等比數(shù)列的方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式,關(guān)鍵是要靈活利用構(gòu)造轉(zhuǎn)化的方法,考查了裂項(xiàng)求和的方法求解數(shù)列的和,注意裂項(xiàng)相消后余留下的項(xiàng)是考生容易出現(xiàn)問(wèn)題的地方.
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解:令an=an-1=x,則有x=3x+2,所以x=-1,故原遞推式an=3an-1+2可轉(zhuǎn)化為:
an+1=3(an-1+1),因此數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為a1+1,公比為3的等比數(shù)列.
根據(jù)上述材料所給出提示,解答下列問(wèn)題:
已知數(shù)列{an},a1=1,an=3an-1+4,
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)an;并用解析幾何中的有關(guān)思想方法來(lái)解釋其原理;
(2)若記Sn=
n
k=1
1
lg(ak+2)lg(ak+1+2)
,求
lim
n→∞
Sn;
(3)若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足:b1=10,bn+1=100bn3,利用所學(xué)過(guò)的知識(shí),把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可以用閱讀材料的提示,求出解數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn

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(本大題18分)

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an+1=3(an–1+1),因此數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為a1+1,公比為3的等比數(shù)列。

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