Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2 ，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)．

（1）證明：PC⊥平面BEF；
（2）求平面BEF與平面BAP所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

∵AP=AB=2，BC=AD=2 ，四邊形ABCD是矩形，

∴A，B，C，D，P的坐標(biāo)為A（0，0，0），B（2，0，0），

C（2，2 ，0），D（0，2 ，0），P（0，0，2）．

又E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)，∴E（0， ，0），F(xiàn)（1， ，1）．

∴ =（2，2 ，﹣2）， =（﹣1， ，1）， =（1，0，1）．

∴ =﹣2+4﹣2=0， =2+0﹣2=0．

∴ ⊥ ， ⊥

∴PC⊥BF，PC⊥EF．又BF∩EF=F，

∴PC⊥平面BEF

（2）解：由（1）知平面BEF的一個(gè)法向量 = =（2，2 ，﹣2），

平面BAP的一個(gè)法向量 = =（0，2 ，0），∴ ．

設(shè)平面BEF與平面BAP的夾角為θ，

則cosθ=|cos |= = = ，

∴平面BEF與平面BAP所成的銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）先建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，再求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而利用向量證明PC⊥BF，PC⊥EF，進(jìn)而證得PC⊥平面BEF；（2）兩個(gè)平面法向量所成夾角的余弦值的絕對(duì)值為這兩個(gè)平面所成的銳二面角，故求得兩平面的法向量即可解題.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線(xiàn)與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線(xiàn)”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線(xiàn)與平面垂直”與“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．