設(shè)向量,(n為正整數(shù)),函數(shù)在[0,1]上的最小值與最大值的和為an,又數(shù)列{bn}滿足:
(1)求證:an=n+1(2).
(2)求bn的表達式.
(3)若cn=-an•bn,試問數(shù)列{cn}中,是否存在正整數(shù)k,使得對于任意的正整數(shù)n,都有cn≤ck成立?證明你的結(jié)論.(注:表示意義相同)
【答案】分析:(1)對稱軸,所以y=x2+(n+4)x-2在[0,1]上為增函數(shù),故可證;
(2)由數(shù)列{bn}滿足的條件,再寫一式,兩式相減可求;
(3)設(shè)存在自然數(shù)k,使對n∈N,cn≤ck恒成立,易得當n<8時,cn+1>cn,當n=8時,cn+1=cn,當n>8時,cn+1<cn故得解.
解答:解:(1)證明:對稱軸,所以y=x2+(n+4)x-2在[0,1]上為增函數(shù)---(2分)
an=(-2)+(n+3)=n+1--(4分)
(2)解:由,
得,(n-1)b1+(n-2)b2+…+bn-1=兩式相減,

∴當n=1時,b1=S1=1



(3)由(1)與(2)得
設(shè)存在自然數(shù)k,使對n∈N,cn≤ck恒成立
當n=1時,
當n≥2時,,
∴當n<8時,cn+1>cn
當n=8時,cn+1=cn,當n>8時,cn+1<cn
所以存在正整數(shù)k=9,使對任意正整數(shù)n,均有c1<c2<…<c8=c9>c10>c11>…
點評:本題考查數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用,難度較大,解題時要認真審題,仔細解答.
練習(xí)冊系列答案
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(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)已知數(shù)列{bn},其中bn=an+12-an2,設(shè)Sn為數(shù)列{bn}的前n項和,求數(shù)學(xué)公式;
(3)已知點列A1(1,a12)、A2(2,a22)、A3(3,a32)、…、An(n,an2)、…,設(shè)過任意兩點Ai,Aj(i,j為正整數(shù))的直線斜率為kij,當i=2008,j=2010時,求直線AiAj的斜率.

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(2)已知數(shù)列{bn},其中bn=an+12-an2,設(shè)Sn為數(shù)列{bn}的前n項和,求;
(3)已知點列A1(1,a12)、A2(2,a22)、A3(3,a32)、…、An(n,an2)、…,設(shè)過任意兩點Ai,Aj(i,j為正整數(shù))的直線斜率為kij,當i=2008,j=2010時,求直線AiAj的斜率.

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