Question

已知常數(shù)a＞0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別在BC、CD、DA上移動，且＝＝，P為CE與OF的交點(diǎn)(如圖)，問是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使P到這兩點(diǎn)的距離的和為定值？若存在，求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離的和為定值． 　　按題意有A(－2，0)，B(2，0)，C(2，4a)，D(－2，4a)． 　　設(shè)＝＝＝k(0≤k≤1)． 　　由此有E(2，4ak)，F(xiàn)(2－4k，4a)，G(－2，4a－4ak)． 　　直線OF的方程為2ax＋(2k－1)y＝0，　�、� 　　直線GE的方程為－a(2k－1)x＋y－2a＝0．　�、� 　　從①，②消去參數(shù)k，得點(diǎn)P(x，y)坐標(biāo)滿足方程2a2x2＋y2－2ay＝0． 　　整理得＋＝1． 　　當(dāng)a2＝時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點(diǎn)． 　　當(dāng)a2≠時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為橢圓的一部分，點(diǎn)P到該橢圓焦點(diǎn)的距離的和為定長． 　　當(dāng)a2＜時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)(－，a)，(，a)的距離之和為定值． 　　當(dāng)a2＞時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)(0，a－)，(0，a＋)的距離之和為定值2a．