【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ ax2+x,a∈R.
(1)若f(1)=0,求函數(shù)f(x)的最大值;
(2)令g(x)=f(x)﹣(ax﹣1),求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若a=﹣2,正實(shí)數(shù)x1 , x2滿(mǎn)足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,證明x1+x2

【答案】
(1)解:因?yàn)閒(1)= ,所以a=2.

此時(shí)f(x)=lnx﹣x2+x,x>0,

,

由f'(x)=0,得x=1,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,

故當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)有極大值,也是最大值,所以f(x)的最大值為f(1)=0.


(2)解: ,

所以

當(dāng)a≤0時(shí),因?yàn)閤>0,所以g′(x)>0.

所以g(x)在(0,+∞)上是遞增函數(shù),

當(dāng)a>0時(shí),

令g′(x)=0,得

所以當(dāng) 時(shí),g′(x)>0;當(dāng) 時(shí),g′(x)<0,

因此函數(shù)g(x)在 是增函數(shù),在 是減函數(shù).

綜上,當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)g(x)的遞增區(qū)間是(0,+∞),無(wú)遞減區(qū)間;

當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)g(x)的遞增區(qū)間是 ,遞減區(qū)間是


(3)解:由x1>0,x2>0,即x1+x2>0.

令t=x1x2,則由x1>0,x2>0得, .t>0

可知,φ(t)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.

所以φ(t)≥φ(1)=1,

所以 ,解得

又因?yàn)閤1>0,x2>0,

因此 成立.


【解析】(1)先求出a的值,然后求原函數(shù)的極值即可;(2)求導(dǎo)數(shù),然后通過(guò)研究不等式的解集確定原函數(shù)的單調(diào)性;(3)結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù),然后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到要證的結(jié)論.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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