Question

20．已知函數f（x）=3^x+λ•3^-x（λ∈R）
（1）根據λ的不同取值，討論函數的奇偶性，并說明理由；
（2）若不等式f（x）≤6在x∈[0，2]上恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）討論當λ=1時，當λ=-1時，當|λ|≠1時，求出f（x）的解析式，運用奇偶性的定義即可判斷；
（2）由題意可得3^x+$\frac{λ}{{3}^{x}}$≤6，令t=3^x∈[1，9]，原不等式等價于λ≤6t-t²在t∈[1，9]上恒成立，令g（t）=6t-t²，t∈[1，9]，求得最小值，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）函數f（x）=3^x+λ•3^-x的定義域為R，
當λ=1時，f（x）=3^x+3^-x，由f（-x）=f（x），可得函數為偶函數；
當λ=-1時，f（x）=3^x-3^-x，由f（-x）=-f（x），可得函數為奇函數；
當|λ|≠1時，f（1）=3+$\frac{λ}{3}$，f（-1）=$\frac{1}{3}$+3λ，此時f（-1）≠-f（1）且f（-1）≠f（1），
所以函數為非奇非偶函數；
（2）由f（x）≤6得3^x+λ3^-x≤6，即3^x+$\frac{λ}{{3}^{x}}$≤6，
令t=3^x∈[1，9]，
原不等式等價于t+$\frac{λ}{t}$≤6在t∈[1，9]上恒成立，
亦即λ≤6t-t²在t∈[1，9]上恒成立，
令g（t）=6t-t²，t∈[1，9]，
當t=9時，g（t）有最小值g（9）=-27，
所以λ≤-27．

點評 本題考查函數的奇偶性的判斷，注意運用分類討論的思想方法和奇偶性的定義，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數分離和二次函數的最值的求法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．