Question

12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點(diǎn)P到定點(diǎn)$（0，\frac{1}{4}）$和它到定直線$y=-\frac{1}{4}$的距離相等，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C₁，將曲線C₁上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再向上平移1個單位得到曲線C₂．
（1）求曲線C₁，C₂的方程；
（2）過定點(diǎn)M（0，1）作兩條互相垂直的直線l₁、l₂，與曲線C₂分別相交于A、B兩點(diǎn)，則△AMB的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的定義可得點(diǎn)P的軌跡C₁為拋物線，再利用坐標(biāo)變換得到曲線C₂．
（2）設(shè)直線直線l₁的斜率為k（k≠0），則l₂的斜率為-$\frac{1}{k}$，其直線方程分別為：y=kx+1，y=-$\frac{1}{k}$x+1．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分別與拋物線方程聯(lián)立可得A，B的坐標(biāo)，利用就不不等式的性質(zhì)及其S_△AMB=$\frac{1}{2}|AM||BM|$，即可得出．

解答 解：（1）由拋物線的定義可得：點(diǎn)P的軌跡C₁為拋物線：x²=y．
將曲線C₁上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再向上平移1個單位得到曲線C₂：$（\frac{1}{2}x）^{2}$=y-1，可得y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$+1．
（2）設(shè)直線直線l₁的斜率為k（k≠0），則l₂的斜率為-$\frac{1}{k}$，其直線方程分別為：y=kx+1，y=-$\frac{1}{k}$x+1．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=4k}\\{y=4{k}^{2}+1}\end{array}\right.$，可得A（4k，4k²+1）．
同理可得B$（-\frac{4}{k}，\frac{4}{{k}^{2}}+1）$．
∴S_△AMB=$\frac{1}{2}|AM||BM|$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{16{k}^{2}+（4{k}^{2}+1-1）^{2}}$$\sqrt{\frac{16}{{k}^{2}}+（\frac{4}{{k}^{2}}+1-1）^{2}}$=8$\sqrt{2+{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}}$≥8$\sqrt{2+2\sqrt{{k}^{2}•\frac{1}{{k}^{2}}}}$=16，當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時取等號．
∴當(dāng)k=±1時，△AMB的面積取得最小值16．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交弦長問題、兩點(diǎn)之間距離公式、三角形面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．