Question

已知圓O：x²+y²=34，橢圓C：

x2

25

+

y2

9

=1．
（Ⅰ）若點(diǎn)P在圓O上，線段OP的垂直平分線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；
（Ⅱ）現(xiàn)有如下真命題：“過(guò)圓x²+y²=5²+3²上任意一點(diǎn)Q（m，n）作橢圓

x2

52

+

y2

32

=1的兩條切線，則這兩條切線互相垂直”；“過(guò)圓x²+y²=4²+7²上任意一點(diǎn)Q（m，n）作橢圓

x2

42

+

y2

72

=1的兩條切線，則這兩條切線互相垂直”．據(jù)此，寫(xiě)出一般結(jié)論，并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），則x02+y02=34，利用MF⊥OP，可得k_OP•k_MF=-1，進(jìn)而可得y02+x02-8x0=0，從而可求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；
（Ⅱ）一般結(jié)論為：“過(guò)圓x²+y²=a²+b²上任意一點(diǎn)Q（m，n）作橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的兩條切線，則這兩條切線互相垂直”，再分類討論，借助于根的判別式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），則x02+y02=34，（1）…（1分）
設(shè)線段OP的垂直平分線與OP相交于點(diǎn)M，則M(

x0

2

，

y0

2

)，…（2分）
橢圓C：

x2

25

+

y2

9

=1的右焦點(diǎn)F（4，0），…（3分）
∵M(jìn)F⊥OP，∴k_OP•k_MF=-1，
∴

y0

x0

•

y0 2 -0

x0 2 -4

=-1，
∴y02+x02-8x0=0，（2）…（4分）
由（1），（2），解得x0=

17

4

，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

17

4

． …（5分）
（Ⅱ）一般結(jié)論為：“過(guò)圓x²+y²=a²+b²上任意一點(diǎn)Q（m，n）作橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的兩條切線，則這兩條切線互相垂直．”…（6分）
證明如下：
（�。┊�(dāng)過(guò)點(diǎn)Q與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1相切的一條切線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)切線方程為x=±a，
∵點(diǎn)Q在圓x²+y²=a²+b²上，
∴Q（±a，±b），
∴直線y=±b恰好為過(guò)點(diǎn)Q與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1相切的另一條切線，
∴兩切線互相垂直．…（7分）
（ⅱ）當(dāng)過(guò)點(diǎn)Q（m，n）與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1相切的切線的斜率存在時(shí)，可設(shè)切線方程為y-n=k（x-m），
由

x2 a2 + y2 b2 =1 y-n=k(x-m)

得 b²x²+a²[k（x-m）+n]²-a²b²=0，
整理得（b²+a²k²）x²+2a²k（n-km）x+a²（n-km）²-a²b²=0，…（8分）
∵直線與橢圓相切，∴△=4a⁴k²（n-km）²-4（b²+a²k²）[a²（n-km）²-a²b²]=0，
整理得（m²-a²）k²-2mnk+（n²-b²）=0，…（9分）
∴k1k2=

n2-b2

m2-a2

，…（10分）
∵點(diǎn)Q（m，n）在圓x²+y²=a²+b²上，
∴m²+n²=a²+b²，
∴m²-a²=b²-n²，
∴k₁k₂=-1，
∴兩切線互相垂直，
綜上所述，命題成立．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：求圓錐曲線的方程一般利用待定系數(shù)法；解決直線與圓錐曲線的關(guān)系問(wèn)題，一般將直線的方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得到二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系找突破口．