如圖，直線y=x+b與橢圓
x2
4
+y2=1交于A、B兩點．
（1）若點P（m，n）為弦AB的中點，且m+n=3，求b的值；
（2）記△AOB的面積為S，當(dāng)S=1時，求直線AB的方程．
考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用點差法求出k=
y1-y2
x1-x2
=-
2m
8n
=1，從而求出P（4，-1），代入直線y=x+b，求出b．
（2）聯(lián)立
x2
4
+y2=1
y=x+b
，得5x2+8bx+4b2-4=0，由此利用韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式能求出直線AB的方程．
解答： 解：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
∵點P（m，n）為弦AB的中點，且m+n=3，①
∴x1+x2=2m，y1+y2=2n，
把A（x1，y1），B（x2，y2）代入橢圓
x2
4
+y2=1，得：
x12
4
+y12=1
x22
4
+y22=1
，
兩式相減，得（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0，
∴2m（x1-x2）+8n（y1-y2）=0，
∴k=
y1-y2
x1-x2
=-
2m
8n
=1，
∴m=-4n，②
由①②，得m=4，n=-1，
∴P（4，-1），代入直線y=x+b，得-1=4+b，
解得b=-5．
（2）聯(lián)立
x2
4
+y2=1
y=x+b
，得5x2+8bx+4b2-4=0，
x1+x2=-
8b
5
，x1x2=
4b2-4
5
，
∴|AB|=
2
•
(-
8b
5
)2-4×
4b2-4
5
=
4
2
5
5-b2
，
原點O（0，0）到直線y=x+b的距離d=
|b|
2
，
∵△AOB的面積S=1，
∴
1
2
×
|b|
2
×
4
2
5
5-b2
=1，
解得b=±
10
2
，
∴直線AB的方程為y=x±
10
2
．
點評：本題考查實數(shù)值的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意點差法、韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式的合理運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列命題正確的是（　�。�
A、若向量
AB
與
CD
是共線向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上
B、若
a
與
b
平行，則
a
，
b
的方向相同或相反
C、若果非零向量
a
與
b
的方向相同或相反，那么
a
+
b
的方向必與
a
，
b
之一的方向相同
D、在△ABC中，必有
AB
+
BC
+
CA
=0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，離心率為
2
2
，長軸長小于4
2
，點A在直線x=2上，且FA的最小值為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點P（x0，y0）是橢圓C上第一象限內(nèi)的點，O是坐標原點，直線OP與橢圓C的另一交點為Q，點T在C上，且PT⊥PQ；
①若PT的斜率為k，QT的斜率為k1，問kk1是否為定值，若為定值，求出kk1；若不是定值，說明理由．
②若QT交x軸于M，求△PQM的面積的最大值，并寫出此時T點的坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

有下列五個命題：
①在△ABC中，p：A＞B；q：sinA＞sinB；則命題p是命題q的充要條件；
②p：數(shù)列{an}是等差數(shù)列，q：數(shù)列{an}是單調(diào)數(shù)列；命題p是命題q的充要條件；
③P：△ABC是銳角△ABC，q：sinA＞cosB；則命題p是命題q的充要條件；
④α≠
π
6
或β≠
π
6
是cos（α+β）≠
1
2
成立的必要不充分條件；
⑤a＜0是方程ax2+2x+1=0至少有一個負數(shù)根的充分不必要條件．
其中正確的命題序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=
a
x+1
的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點（
1
2
，1），求實數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，EA是圓O的切線，割線EB交圓O于點C，C在直徑AB上的射影為D，CD=2，BD=4，則EA=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足：Sn=n-an，
（1）求a1，a2，a3的值；
（2）求證：數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列，并求{an}通項公式；
（3）令bn=（2-n）（an-1），（n=1，2，3…），如果對任意n∈N*，都有bn+
1
4
t≤t2，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓的直徑AB=10cm，C是圓周上一點（不同于A、B點），CD⊥AB于D，CD=3cm，則BD=
 
cm．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4成等差數(shù)列．   
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）令數(shù)列{bn}滿足bn=lna3n+1，記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求：
ln2
T1
+
ln2
T2
+…+
ln2
Tn
．

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同步練習(xí)冊答案