Question

已知數(shù)列{a_n} 的前n項和為S_n，且S_n=n²．數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且b₁=1，b₄=8．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{c_n}滿足c_n=，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

（本小題滿分10分）
解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²，
∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
當n=1時，a₁=S₁=1滿足上式，故a_n=2n-1
又 數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，
∵b₁=1，b₄=b₁q³=8，∴q=2．
∴b_n=2^n-1
（Ⅱ）=2ⁿ-1．
T_n=c₁+c₂+…+c_n=（2-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1）
=（2+2²+…+2ⁿ）-n=2ⁿ⁺¹-2-n
分析：（Ⅰ）利用遞推公式可求當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，當n=1時，a₁=S₁=1可求a_n
由 數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，及b₁=1，b₄=b₁q³=8，可求q，進而可求b_n
（Ⅱ）由題意可得，=2ⁿ-1．結(jié)合數(shù)列的特點可考慮利用分組求和，結(jié)合等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式可求
點評：本題主要考查了利用遞推公式n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，當n=1時，a₁=S₁求解數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項公式及求和公式的應用．