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1.如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=1,BC=2,∠CBA=π3,ABEF為直角梯形,BE∥AF,∠BAF=π2,BE=2,AF=3,平面ABCD⊥平面ABEF.
(1)求證:AC⊥平面ABEF;
(2)求三棱錐D-AEF的體積.

分析 (1)證明AC⊥AB,利用平面ABCD⊥平面ABEF,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理即可證明AC⊥平面ABEF;
(2)由(1)可知,AC是三棱錐D-AEF的高,利用體積公式求三棱錐D-AEF的體積.

解答 (1)證明:∵AB=1,BC=2,∠CBA=π3
∴AC2=AB2+BC2-2AB•BCcosπ3=1+4-2×2×1×12=3,
則AC=3,滿足BC2=AB2+AC2,
即△CAB是直角三角形,AC⊥AB,
∵平面ABCD⊥平面ABEF,AC?平面ABCD,平面ABCD∩平面ABEF=AB,
∴AC⊥平面ABEF;
(2)解:由(1)可知,AC是三棱錐D-AEF的高,
∵S△AEF=12×3×1=32,
∴三棱錐D-AEF的體積V=13×32×3=32

點評 本題主要考查面面垂直的性質(zhì)定理,線面垂直的證明,考查三棱錐D-AEF的體積,正確運用面面垂直的性質(zhì)定理是關(guān)鍵.

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