(14分)(2011•廣東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:x=﹣2交x軸于點(diǎn)A,設(shè)P是l上一點(diǎn),M是線段OP的垂直平分線上一點(diǎn),且滿足∠MPO=∠AOP.
(1)當(dāng)點(diǎn)P在l上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡E的方程;
(2)已知T(1,﹣1),設(shè)H是E上動(dòng)點(diǎn),求|HO|+|HT|的最小值,并給出此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo);
(3)過(guò)點(diǎn)T(1,﹣1)且不平行與y軸的直線l1與軌跡E有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求直線l1的斜率k的取值范圍.

(1)y2=4x+4 (x≥﹣1)或y=0(x<﹣1)
(2)
(3)(﹣]∪(0,+∞)

解析試題分析:(1)由于直線l:x=﹣2交x軸于點(diǎn)A,所以A(﹣2,0),由于P是l上一點(diǎn),M是線段OP的垂直平分線上一點(diǎn),且滿足∠MPO=∠AOP,可以設(shè)點(diǎn)P,由于滿足∠MPO=∠AOP,所以分析出MN∥AO,利用相關(guān)點(diǎn)法可以求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程;
(2)由題意及點(diǎn)M的軌跡E的方程為y2=4(x+1),且已知T(1,﹣1),又H是E 上動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)O及點(diǎn)T都為定點(diǎn),利用圖形即可求出;
(3)由題意設(shè)出過(guò)定點(diǎn)的直線方程l1并與點(diǎn)M的軌跡E的方程聯(lián)立,利用有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)與聯(lián)立之后的一元二次方程的判別式大于0,即可得到所求.
解:(1)如圖所示,連接OM,則|PM|=|OM|∵∠MPO=∠AOP,∴動(dòng)點(diǎn)M滿足MP⊥l或M在x的負(fù)半軸上,設(shè)M(x,y) ①當(dāng)MP⊥l時(shí),|MP|=|x+2|,|om|=,|x+2|=,化簡(jiǎn)得y2=4x+4 (x≥﹣1)②當(dāng)M在x的負(fù)半軸上時(shí),y=0(x<﹣1)綜上所述,點(diǎn)M的軌跡E的方程為y2=4x+4 (x≥﹣1)或y=0(x<﹣1)
(2)由題意畫(huà)出圖形如下:
∵由(1)知道動(dòng)點(diǎn)M 的軌跡方程為:y2=4(x+1).
是以(﹣1,0)為頂點(diǎn),以O(shè)(0,0)為焦點(diǎn),以x=﹣2為準(zhǔn)線的拋物線,
由H引直線HB垂直準(zhǔn)線x=﹣2與B點(diǎn),則
利用拋物線的定義可以得到:|HB|=|HO|,
∴要求|HO|+|HT|的最小值等價(jià)于求折線|HB|+|HT|的最小值,
由圖可知當(dāng)由點(diǎn)T直接向準(zhǔn)線引垂線是與拋物線相交的H使得HB|+|HT|的最小值,
故|HO|+|HT|的最小值時(shí)的H
(3)如圖,設(shè)拋物線頂點(diǎn)A(﹣1,0),則直線AT的斜率∵點(diǎn)T(1,﹣1)在拋物線內(nèi)部,∴過(guò)點(diǎn)T且不平行于x,y軸的直線l1必與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)則直線l1與軌跡E的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分以下四種情況討論:①當(dāng)K時(shí),直線l1與軌跡E有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn) ②當(dāng)時(shí),直線l1與軌跡E有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn) ③當(dāng)K=0時(shí),直線l1與軌跡E有且只有一個(gè)交點(diǎn) ④當(dāng)K>0時(shí),直線l1與軌跡E有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)綜上所述,直線l1的斜率K的取值范圍是
(﹣]∪(0,+∞) 


點(diǎn)評(píng):此題重點(diǎn)考查了利用相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,還考查了利用拋物線的定義求出HO|+|HT|的最小值時(shí)等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想,還考查了直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓的離心率,分別為橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的端點(diǎn),中點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),且.
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),求面積最大時(shí),直線的方程.

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如圖,已知橢圓的右焦點(diǎn)為,點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn),圓是以為直徑的圓.
(1)若圓過(guò)原點(diǎn),求圓的方程; 
(2)寫(xiě)出一個(gè)定圓的方程,使得無(wú)論點(diǎn)在橢圓的什么位置,該定圓總與圓相切,請(qǐng)寫(xiě)出你的探究過(guò)程.

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已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為、點(diǎn)在雙曲線C上.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)記O為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F,若△OEF的面積為求直線l的方程.

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已知橢圓C1和拋物線C2有公共焦點(diǎn)F(1,0),C1的中心和C2的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M(4,0)的直線l與拋物線C2分別相交于A ,B兩點(diǎn).
(1)如圖所示,若,求直線l的方程;
(2)若坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P在拋物線C2上,直線l與橢圓C1有公共點(diǎn),求橢圓C1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值.

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在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別焦距為,且與雙曲線共頂點(diǎn).為橢圓上一點(diǎn),直線交橢圓于另一點(diǎn)
(1)求橢圓的方程;
(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求過(guò)、、三點(diǎn)的圓的方程;
(3)若,且,求的最大值.

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已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,且離心率為
(1)求橢圓方程;
(2)斜率為的直線過(guò)點(diǎn),且與橢圓交于兩點(diǎn),為直線上的一點(diǎn),若△為等邊三角形,求直線的方程.

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已知A、B為拋物線C:y2 = 4x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A在第一象限,點(diǎn)B在第四象限l1、l2分別過(guò)點(diǎn)A、B且與拋物線C相切,P為l1、l2的交點(diǎn).
(1)若直線AB過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F,求證:動(dòng)點(diǎn)P在一條定直線上,并求此直線方程;
(2)設(shè)C、D為直線l1、l2與直線x = 4的交點(diǎn),求面積的最小值.

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,短軸長(zhǎng)為2,離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)A,B是橢圓C上的兩點(diǎn),△AOB的面積為.若A、B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,E為線段AB的中點(diǎn),射線OE交橢圓C于點(diǎn)P.如果=t,求實(shí)數(shù)t的值.

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