如圖，已知△ABC中，AB=1，AC=2，∠BAC=120°，點(diǎn)M是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)N滿足∠MAN=30°，
AM
•
AN
=3（點(diǎn)A，M，N按逆時(shí)針方向排列）．
（1）若
AN
=λ
AC
（λ＞0），求BN的長(zhǎng)；
（2）求△ABN面積的最大值．
考點(diǎn)：正弦定理
專題：綜合題,解三角形
分析：（1）利用△ABC的面積等于△ABM與△ACM面積的和，求出AM，利用∠MAN=30°，
AM
•
AN
=3，求出AN，利用余弦定理，計(jì)算BN的長(zhǎng)；
（2）表示出△ABN面積，利用輔助角公式化簡(jiǎn)，即可求△ABN面積的最大值．
解答： 解：（1）由
AN
=λ
AC
（λ＞0），得點(diǎn)N在射線AC上，∠BAM=90°，
因?yàn)椤鰽BC的面積等于△ABM與△ACM面積的和，
所以
1
2
AB•AM+
1
2
AC•AM•sin30°=
1
2
AB•ACsin120°，得：AM=
3
2
，…（3分）
又∠MAN=30°，
AM
•
AN
=3，
所以AM•ANcos30°=3，即AN=4，
所以BN=
1+16-2×1×4cos120°
=
21
，即BN=
21
；…（6分）
（2）設(shè)∠BAM=x，則∠CAM=120°-x，
因?yàn)椤鰽BC的面積等于△ABM與△ACM面積的和，
所以
1
2
AB•AMsinx+
1
2
AC•AM•sin（120°-x）=
1
2
AB•ACsin120°，
得：AM=
3
2(sinx+
3
cosx)
，…（7分）
又∠MAN=30°，
AM
•
AN
=3，
所以AM•ANcos30°=3，即AN=4sinx+2
3
cosx，
所以△ABN的面積S=
1
2
（4sinx+2
3
cosx）sin（x+30°）
=
5
4
sin2x-
3
4
cos2x+
3
3
4
=
2
7
4
sin（2x-φ）+
3
3
4
 …（10分）
（其中：sinφ=
3
2
7
，cosφ=
5
2
7
，φ，為銳角），
所以當(dāng)2x-φ=90°時(shí)，△ABN的面積最大，最大值是
2
7
4
+
3
3
4
．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦、余弦定理的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，考查輔助角公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若復(fù)數(shù)z滿足zi=4-5i（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z為（　�。�
A、5-4iB、-5+4i
C、5+4iD、-5-4i

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

填表：
角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
角α的弧度數(shù)
sinα
cosα
tanα

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-1的反函數(shù)為y=f-1（x），記g（x）=f-1（x-1）．
（1）求函數(shù)y=2f-1（x）-g（x）的最小值；
（2）若函數(shù)F（x）=2f-1（x+m）-g（x）在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）的最大值為2，且f（1）=f（3）=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，m+1]上單調(diào)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，EA⊥平面ABC，F(xiàn)C∥EA，EA=FC=AB=a．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面BCF；
（Ⅱ）證明五點(diǎn)A、B、C、E、F在同一個(gè)球面上，并求A、F兩點(diǎn)的球面距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A，B是橢圓W：
x2
4
+
y2
3
=1上不關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，直線AB交x軸于點(diǎn)M（與點(diǎn)A，B不重合），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）如果點(diǎn)M是橢圓W的右焦點(diǎn)，線段MB的中點(diǎn)在y軸上，求直線AB的方程；
（Ⅱ）設(shè)N為x軸上一點(diǎn)，且
OM
•
ON
=4，直線AN與橢圓W的另外一個(gè)交點(diǎn)為C，證明：點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)x軸對(duì)稱．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將函數(shù)y=sin（6x+
π
4
）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍，再向右平移
π
8
個(gè)單位，得到函數(shù)f（x）．
（1）寫出f（x）的解析式
（2）求f（x）的對(duì)稱中心．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，SD⊥底面ABCD，AD=
2
，DC=SD=2，點(diǎn)M在側(cè)棱SC上，∠ABM=60°．
（Ⅰ）證明：M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)；
（Ⅱ）求二面角S-AM-B的余弦值．

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