設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.
(1)求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀;
(2)已知,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求出該圓的方程;
(3)已知,設(shè)直線與圓C:(1<R<2)相切于A1,且與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B1,當(dāng)R為何值時(shí),|A1B1|取得最大值?并求最大值.
(1)當(dāng)m=0時(shí),方程表示兩直線,方程為;當(dāng)時(shí), 方程表示的是圓,當(dāng)且時(shí),方程表示的是橢圓;(2)存在圓滿足要求(3) 當(dāng)時(shí)|A1B1|取得最大值,最大值為1.
解析試題分析:(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/72/7/gthtp2.png" style="vertical-align:middle;" />,,,
所以, 即.
當(dāng)m=0時(shí),方程表示兩直線,方程為;
當(dāng)時(shí), 方程表示的是圓
當(dāng)且時(shí),方程表示的是橢圓;
(2).當(dāng)時(shí), 軌跡E的方程為,設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為,解方程組得,即,
要使切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,
則使△=,
即,即, 且
,
要使, 需使,即,
所以, 即且, 即恒成立.
所以又因?yàn)橹本為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,
所以圓的半徑為,, 所求的圓為.
當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),切線為,與交于點(diǎn)或也滿足.
綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.
(3)當(dāng)時(shí),軌跡E的方程為,設(shè)直線的方程為,因?yàn)橹本與圓C:(1<R<2)相切于A1, 由(2)知, 即 ①,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/33/a/aytrw2.png" style="vertical-align:middle;" />與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B1,
由(2)知得,
即有唯一解
則△=, 即, ②
由①②得, 此時(shí)A,B重合為B1(x1,y1)點(diǎn),
由 中,所以,,
B1(x1,y1)點(diǎn)在橢圓上,所以,所以,
在直角三角形OA1B1中,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/85/2/1dvf63.png" style="vertical-align:middle;" />當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以,即
當(dāng)時(shí)|A1B1|取得最大值,最大值為1.
考點(diǎn):求軌跡方程及直線與橢圓,圓的位置關(guān)系
點(diǎn)評(píng):中取不同值時(shí)代表不同的曲線,可一是直線,圓,橢圓,雙曲線;
直線與橢圓相交問題常用的思路:直線方程與橢圓方程聯(lián)立,整理為x的二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,將所求問題轉(zhuǎn)化到兩根來表示,本題第二問第三問對(duì)學(xué)生而言難度較大
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、,由4個(gè)點(diǎn)、、和組成一個(gè)高為,面積為的等腰梯形.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)的直線和橢圓交于、兩點(diǎn),求面積的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為,
軸被拋物線截得的線段長等于的長半軸長.
(1)求的方程;
(2)設(shè)與軸的交點(diǎn)為,過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線
與相交于兩點(diǎn),直線分別與相交于.
①證明:為定值;
②記的面積為,試把表示成的函數(shù),并求的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)在橢圓 上,過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn),拋物線在點(diǎn)處的切線分別為,且與交于點(diǎn).
(1) 求橢圓的方程;
(2) 是否存在滿足的點(diǎn)? 若存在,指出這樣的點(diǎn)有幾個(gè)(不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)); 若不存在,說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)雙曲線的頂點(diǎn)為,該雙曲線又與直線交于兩點(diǎn),且(為坐標(biāo)原點(diǎn))。
(1)求此雙曲線的方程;
(2)求
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C的方程為左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,焦距為4,點(diǎn)M是橢圓C上一點(diǎn),滿足
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)P(0,2)分別作直線PA,PB交橢圓C于A,B兩點(diǎn),設(shè)直線PA,PB的斜率分別為k1,k2,,求證:直線AB過定點(diǎn),并求出直線AB的斜率k的取值范圍。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知點(diǎn)是F拋物線與橢圓的公共焦點(diǎn),且橢圓的離心率為
(1)求橢圓的方程;
(2)過拋物線上一點(diǎn)P,作拋物線的切線,切點(diǎn)P在第一象限,如圖,設(shè)切線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B,記直線OP,F(xiàn)A,FB的斜率分別為(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),若,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知,點(diǎn)B是軸上的動(dòng)點(diǎn),過B作AB的垂線交軸于點(diǎn)Q,若
,.
(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)是否存在定直線,以PM為直徑的圓與直線的相交弦長為定值,若存在,求出定直線方程;若不存在,請(qǐng)說明理由。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知點(diǎn)R(-3,0),點(diǎn)P在y軸上,點(diǎn)Q在x軸的正半軸上,點(diǎn)M在直線PQ上 ,且滿足,.
(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(Ⅱ)設(shè)為軌跡C上兩點(diǎn),且,N(1,0),求實(shí)數(shù),使,且.
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com