Question

甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時(shí)．已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米/時(shí)）的平方成正比、比例系數(shù)為b；固定部分為a元．
（1）把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米/時(shí)）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；
（2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

Answer 1

分析：（1）全程運(yùn)輸成本有兩部分組成，將其分別分別表示出來(lái)依題意建立起程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米/時(shí)）的函數(shù)，由題設(shè)條件速度不得超過c千米/時(shí)．故定義域?yàn)関∈（0，c]．
（2）由（1）知，全程運(yùn)輸成本關(guān)于速度的函數(shù)表達(dá)式中出現(xiàn)了積為定值的情形，由于等號(hào)成立的條件有可能不成立，故求最值的方法不確定，對(duì)對(duì)速度的范圍進(jìn)行分類討論，如等號(hào)成立時(shí)速度值不超過c，則可以用基本不等式求求出全程運(yùn)輸成本的最小值，若等號(hào)成立時(shí)速度值大于最高限速v，可以判斷出函數(shù)在（0，c]上的單調(diào)性，用單調(diào)性求出全程運(yùn)輸成本的最小值．

解答：解：（1）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為

s

v

，全程運(yùn)輸成本為y=a•

S

v

+bv2•

S

v

=S(

a

v

+bv)
故所求函數(shù)及其定義域?yàn)?span id="7bocu4s" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">y=S(

a

v

+bv)，v∈(0，c]
（2）依題意知S，a，b，v都為正數(shù)，故有S(

a

v

+bv)≥2S

ab

當(dāng)且僅當(dāng)

a

v

=bv，．即v=

a b

時(shí)上式中等號(hào)成立
若

a b

≤c，則當(dāng)v=

a b

時(shí)，全程運(yùn)輸成本y最小，
若

a b

＞c，即a＞bc²，則當(dāng)v∈（0，c]時(shí)，有S(

a

v

+bv)-S(

a

c

+bc)=S[(

a

v

-

a

c

)+(bv-bc)]
=

S

vc

(c-v)(a-bcv)
因?yàn)閏-v≥0，且a＞bc²，故有a-bcv≥a-bc²＞0，
所以S(

a

v

+bv)≥S(

a

c

+bc)，且僅當(dāng)v=c時(shí)等號(hào)成立，
也即當(dāng)v=c時(shí)，全程運(yùn)輸成本y最�。�
綜上知，為使全程運(yùn)輸成本y最小，當(dāng)

ab

b

≤c時(shí)行駛速度應(yīng)為v=

ab

b

；當(dāng)

ab

b

＞c時(shí)行駛速度應(yīng)為v=c．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系、不等式性質(zhì)、最大值、最小值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問題的能力．