Question

已知：二次函數(shù)y=-2x²+5x+12，求：
（1）拋物線的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)y=0，y＞0，y＜0時(shí)，對應(yīng)的x的取值范圍；
（3）當(dāng)y＞15時(shí)，x的范圍；
（4）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，y的最大值和最小值；
（5）當(dāng)x∈[3，4]時(shí)，y的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先把二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，進(jìn)一步求出開口方向，對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）解一元二次方程和一元二次不等式
（3）解一元二次不等式．
（4）在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)的最值．
（5）在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)的最大值，要注意函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）二次函數(shù)y=-2x²+5x+12=-2(x-

5

4

)2+

121

8

∴拋物線的開口方向向下、對稱軸方程：x=

5

4

、頂點(diǎn)坐標(biāo)：(

5

4

，

121

8

)
（2）①當(dāng)y=0時(shí)，即-2x²+5x+12=0解得：x=-

3

2

或4
②當(dāng)y＞0時(shí)，即-2x²+5x+12＞0解得：-

3

2

＜x＜4
③當(dāng)y＜0時(shí)，即-2x²+5x+12＜0解得：x＜-

3

2

或x＞4
（3）當(dāng)y＞15時(shí)，即-2x²+5x+12＞15解得：1＜x＜

3

2

（4）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，y_min=12 ymax=

121

8

（5）當(dāng)x∈[3，4]時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，x=3時(shí)y_max=9
故答案為：（1）拋物線的開口方向向下、對稱軸方程：x=

5

4

、頂點(diǎn)坐標(biāo)：(

5

4

，

121

8

)
（2）（2）①當(dāng)y=0時(shí)，即-2x²+5x+12=0解得：x=-

3

2

或4
②當(dāng)y＞0時(shí)，即-2x²+5x+12＞0解得：-

3

2

＜x＜4
③當(dāng)y＜0時(shí)，即-2x²+5x+12＜0解得：x＜-

3

2

或x＞4
（3）當(dāng)y＞15時(shí)，1＜x＜

3

2

（4）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，y_min=12 ymax=

121

8

（5）當(dāng)x∈[3，4]時(shí)y_max=9

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)：二次函數(shù)一般式與頂點(diǎn)式的轉(zhuǎn)換，頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸方程，一元二次方程的解法，一元二次不等式的解法，函數(shù)的最大值和最小值及相關(guān)的運(yùn)算問題．