已知a，b，c是非零實數(shù)，且a2+b2+c2=1．
（1）證明：
1
a2
+
4
b2
+
9
c2
≥36；
（2）若不等式
1
a2
+
4
b2
+
9
c2
≥|m|+|m-2|對一切a，b，c恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
考點：不等式的證明,基本不等式
專題：選作題,不等式
分析：（1）由柯西不等式可得（
1
a2
+
4
b2
+
9
c2
）（a2+b2+c2）≥（1+2+3）2，即可證明結(jié)論；
（2）利用（1）的結(jié)論，可得|m|+|m-2|≤36，即可求實數(shù)m的取值范圍．
解答： （1）證明：由柯西不等式可得（
1
a2
+
4
b2
+
9
c2
）（a2+b2+c2）≥（1+2+3）2，
∴
1
a2
+
4
b2
+
9
c2
≥
36
a2+b2+c2
，
∵a2+b2+c2=1，
∴
1
a2
+
4
b2
+
9
c2
≥36；
（2）解：∵不等式
1
a2
+
4
b2
+
9
c2
≥|m|+|m-2|對一切a，b，c恒成立，
∴由（1）可得|m|+|m-2|≤36，
∴m＜0時，-m-m+2≤36，∴m≥-17，∴-17≤m＜0；
0≤m≤2時，m-m+2≤36恒成立；
m＞2時，m+m-2≤36，∴m≤19，∴2＜m≤19，
綜上，-17≤m≤19．
點評：本題考查不等式的證明，考查柯西不等式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在（0，π）上的函數(shù)f（x）滿足f′（x）•sinx＜f（x）•cosx，則下列不等式正確的是（　�。�
A、f（
π
3
）＜
3
•f（
π
6
）
B、
1
2
•f（
1
2
）＜sin
1
2
•f（
π
6
）
C、sin2•f（1）＜sin1•f（2）
D、sin1•f（
1
2
）＜sin
1
2
•f（1）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜
π
2
）在區(qū)間[-
π
6
，
π
3
]上的圖象如圖所示．
（1）求ω，φ的值；
（2）設(shè)x∈[0，
5π
12
]，不等式|4f（x）-1|＜m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l：y=3x+3，求：
（1）過點A（3，2）且與直線l平行的直線方程m；
（2）點B（4，5）關(guān)于直線l的對稱點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知m∈N+，函數(shù)f（x）=（2m-m2）x2m2+3m-2在（0，+∞）上是增函數(shù)，若g（x）=p[f（x）] 
4
3
+（4p-3）[f（x）] 
2
3
，問是否存在p（p＞0）使g（x）在[0，2]上是減函數(shù)，且在[2，+∞]上是增函數(shù)？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求AB的長度以及點A到直線BC的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求證：
4
a
+
1
b
≥9．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的各項均大于1，前n項和Sn滿足2Sn=
a
2
n
+n-1．
（Ⅰ）求a1及數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）記bn=
1
a
2
n
-1
，求證：b1+b2+…+bn＜
3
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知α為銳角，且sinα=
4
5
，求sin（α+
π
3
）和tan2α的值．

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