Question

10．設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=2ⁿ⁺¹-2；數(shù)列{b_n}滿足6n²-（t+3b_n）n+2b_n=0（t∈R，n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）①試確定t的值，使得數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
②在①結(jié)論下，若對(duì)每個(gè)正整數(shù)k，在a_k與a_k+1之間插入b_k個(gè)2，符到一個(gè)數(shù)列{c_n}．設(shè)T_n是數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，試求滿足T_m=2c_m+1的所有正整數(shù)m．

Answer 1

分析 （1）求出數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）①求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程即可求出t，②討論m的取值，根據(jù)T_m=2c_m+1的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2¹⁺¹-2=4-2=2，
a₂=S₂=-S₁=2²⁺¹-2-2=8-4=4，
則公比q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{2}$=2，
則a_n=2•2^n-1=2ⁿ，…4分
（2）①當(dāng)n=1時(shí)，得b₁=6-t，n=2時(shí)，得b₂=6-$\frac{1}{2}$t；n=3時(shí)，b₃=$\frac{54-3t}{7}$，
則由b₁+b₃=2b₂，得t=4．而當(dāng)t=4時(shí)，由6n²-（t+3b_n）n+2b_n=0 得b_n=2n．
由b_n+1-b_n=2，得 數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，滿足條件．
②由題意知，c₁=a₁=2，c₂=c₃=2，c₄=a₂=4，c₅=c₆=c₇=c₈=2，c₉=a₃=8，
則當(dāng)m=1時(shí)，T₁=2≠2c₂，不合題意，舍去；
當(dāng)m=2時(shí)，T₂=c₁+c₂=4=2c₃，滿足題意，則m=2成立；
當(dāng)m≥3 時(shí)，若c_m+1=2，則T_m≠2c_m+1，不合題意，舍去；從而c_m+1 必是數(shù)列{a_n}中的某一項(xiàng)a_k+1，
則T_m=a₁+$\underset{\underbrace{2+…+2}}{_{1}}$+a₂+$\underset{\underbrace{2+…+2}}{_{2}個(gè)}$+a₃+$\underset{\underbrace{2+…+2}}{_{3}個(gè)}$+a₄+…+a_k+$\underset{\underbrace{2+…+2}}{_{k}個(gè)}$
=（2+2²+2³+…+2^k）+2（b₁+b₂+…+b_k）=2（2^k-1）+2×$\frac{（2+2k）k}{2}$=2^k+1+2k²+2k-2，
又2c_m+1=2a_k+1=2×2^k+1，
所以2^k+1+2k²+2k-2=2×2^k+1，
即2^k-k²-k+1=0，所以 2^k+1=k²+k=k（k+1）
因?yàn)?^k+1為奇數(shù)，而k（k+1）為偶數(shù)，所以上式無解．
即當(dāng)m≥3時(shí)，T_m≠2c_m+1，綜上所述，滿足題意的正整數(shù)僅有m=2．…16分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．