Question

已知函數(shù)f（x）=

lnx+k

ex

（其中k∈R），f′（x）為f（x）的導函數(shù)．
（Ⅰ）求證：曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線不過點（2，0）；
（Ⅱ）若在區(qū)間（0，1]中存在x₀，使得f′（x₀）=0，求k的取值范圍；
（Ⅲ）若f′（1）=0，試證明：對任意x＞0，f′（x）＜

e-2+1

x2+x

恒成立．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程，代入點（2，0）驗證，即可得出結論；
（Ⅱ）由f′（x₀）=0得k=

1-x0lnx0

x0

，確定其單調性，可求k的取值范圍；
（Ⅲ）令g（x）=（x²+x）f′（x），對任意x＞0，g（x）＜e^-2+1等價于1-x-xlnx＜

ex

x+1

（e^-2+1）．再構造函數(shù)，研究單調性，即可證明結論．

解答： （Ⅰ）證明：由f（x）=

lnx+k

ex

得f′（x）=

1-kx-xlnx

xex

，x∈（0，+∞），
所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為f′（1）=

1-k

e

，
因為f（1）=

k

e

，所以曲線y=f（x）切線方程為y-

k

e

=

1-k

e

（x-1），
假設切線過點（2，0），代入上式得：為0-

k

e

=

1-k

e

（2-1），得到0=1產(chǎn)生矛盾，所以假設錯誤，
故曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線不過點（2，0）…（4分）
（Ⅱ）解：由f′（x₀）=0得k=

1-x0lnx0

x0

因為0＜x₀≤1，所以k′＜0，所以k（x₀）在（0，1]上單調遞減，故k≥1…（7分）
（Ⅲ）證明：令g（x）=（x²+x）f′（x），當x₀=1時，k=1，所以g（x）=

x+1

ex

（1-x-xlnx），x∈（0，+∞），
因此，對任意x＞0，g（x）＜e^-2+1等價于1-x-xlnx＜

ex

x+1

（e^-2+1）．…（9分）
由h（x）=1-x-xlnx，x∈（0，+∞），
所以h′（x）=-lnx-2，x∈（0，+∞），
因此，當x∈（0，e^-2）時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增；x∈（e^-2，+∞）時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減．
所以h（x）的最大值為h（e^-2）=e^-2+1，故1-x-xlnx≤e^-2+1．…（12分）
設φ（x）=e^x-（x+1），
因為φ′（x）=e^x-1，所以x∈（0，+∞）時φ′（x）＞0，φ（x）單調遞增，φ（x）＞φ（0）=0，
故x∈（0，+∞）時，φ（x）=e^x-（x+1）＞0，即

ex

x+1

＞1．
所以故1-x-xlnx≤e^-2+1＜

ex

x+1

（e^-2+1）．
因此，對任意x＞0，f′（x）＜

e-2+1

x2+x

恒成立    …（14分）

點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查不等式的證明，構造函數(shù)，確定單調性是關鍵．