Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F₁（0，-

3

），F(xiàn)₂（0，

3

）的距離之和為4，設(shè)點(diǎn)M的軌跡是曲線C．已知直線l與曲線C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，

m

=（2x₁，y₁），

n

=（2x₂，y₂），且m⊥n．
（1）若直線l過(guò)曲線C的焦點(diǎn)F（0，c） （c為半焦距），求直線l的斜率k的值；
（2）△AOB的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明； 如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由橢圓定義得曲線C的方程為

y2

4

+x2=1，設(shè)AB方程為y=kx+

3

，代入橢圓方程

y2

4

+x2=1，得（k²+4）x²+2

3

kx-1=0，由此利用韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出直線l的斜率k的值．
（2）當(dāng)A為頂點(diǎn)時(shí)，B必為頂點(diǎn)，則△AOB的面積是1；當(dāng)A，B不為頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)AB方程為y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立，得（k²+4）x²+2kmx+m²-4=0，由此利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式能求出三角形的面積為定值1．

解答： 解：（1）∵動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F₁（0，-

3

），F(xiàn)₂（0，

3

）的距離之和為4，
∴由橢圓定義得動(dòng)點(diǎn)M是以兩定點(diǎn)F₁（0，-

3

），F(xiàn)₂（0，

3

）為焦點(diǎn)的橢圓，
且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，
∴曲線C的方程為

y2

4

+x2=1，
設(shè)AB方程為y=kx+

3

，代入橢圓方程

y2

4

+x2=1，
消元可得（k²+4）x²+2

3

kx-1=0，
∵直線l與曲線C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
∴x1+x2=

-2 3 k

k2+4

，x₁x₂=

-1

k2+4

，
∵

m

=（2x₁，y₁），

n

=（2x₂，y₂），且m⊥n．
∴4x₁x₂+y₁y₂=0，
∴4x₁x₂+（kx₁+

3

）（kx₂+

3

）=0，
∴（4+k²）x₁x₂+

3

k(x1+x2)+3=0，
∴(4+k2)•

-1

k2+4

+

3

k×

-2 3 k

k2+4

+3=0
解得k=±

2

，即直線l的斜率k的值為±

2

．
（2）當(dāng)A為頂點(diǎn)時(shí)，B必為頂點(diǎn)，則△AOB的面積是1；
當(dāng)A，B不為頂點(diǎn)時(shí)，
設(shè)AB方程為y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立，
消元可得（k²+4）x²+2kmx+m²-4=0
∴x1+x2=

-2mk

k2+4

，x1x2=

m2-4

k2+4

，
∵

m

=（2x₁，y₁），

n

=（2x₂，y₂），且m⊥n．
∴4x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
∴2m²-k²=4，
∴△AOB的面積是

1

2

•|m|•|x₁-x₂|=

|m| 4k2-4m2+16

k2+4

=

4m2

2|m|

=1．
∴三角形的面積為定值1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的斜率的求法，考查三角形的面積是否為定值的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．