Question

已知函數(shù)f(x)＝(k為常數(shù)，e＝2.718 28…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與x軸平行．

(1)求k的值；

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)設(shè)g(x)＝(x²＋x)f′(x)，其中f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意x>0，g(x)<1＋e^－2.

Answer 1

解析　(1)由f(x)＝，

得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)．

由于曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線與x軸平行，

所以f′(1)＝0，因此k＝1.

(2)由(1)得f′(x)＝(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)．

令h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0，＋∞)，

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h(x)>0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h(x)<0.

又e^x>0，所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)>0；

當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)<0.

因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)．

(3)因?yàn)?i>g(x)＝(x²＋x)f′(x)，

所以g(x)＝(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)．

因此，對(duì)任意x>0，

g(x)<1＋e^－2等價(jià)于1－x－xlnx<(1＋e^－2)．

由(2)中h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0，＋∞)，

所以h′(x)＝－lnx－2＝－(lnx－lne^－2)，x∈(0，＋∞)．

因此，當(dāng)x∈(0，e^－2)時(shí)，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(e^－2，＋∞)時(shí)，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減．

所以h(x)的最大值為h(e^－2)＝1＋e^－2.

故1－x－xlnx≤1＋e^－2.

設(shè)φ(x)＝e^x－(x＋1)．

因?yàn)棣铡?x)＝e^x－1＝e^x－e⁰，

所以當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，φ′(x)>0，φ(x)單調(diào)遞增，

φ(x)>φ(0)＝0.

故當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，φ(x)＝e^x－(x＋1)>0，

即>1.

所以1－x－xlnx≤1＋e^－2<(1＋e^－2)．

因此，對(duì)任意x>0，g(x)<1＋e^－2.