若等差數(shù)列{an}的首項為a1=A2x-3x-1+Cx+12x-3(x>3),公差d是的展開式中x2的系數(shù),其中k為5555除以8的余數(shù).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)令bn=an+15n-75,求證:
【答案】分析:(1)在a1=A2x-3x-1+Cx+12x-3(x>3),根據(jù)排列組合的意義列出不等關系求出x,從而得出首項,又5555=(56-1)55=56m-1求出k值,利用二項式定理求出公差d,最后利用等差數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列{an}的通項公式即可;
(2)結合(1)求得bn,化簡=,利用數(shù)列{}是遞增數(shù)列,即可得到證明.
解答:解:(1)在a1=A2x-3x-1+Cx+12x-3(x>3),中,有⇒x=4,
∴a1=A53+C55=61,
又5555=(56-1)55=56m-1,m∈Z,∴5555除以8的余數(shù)為7,∴k=7,
的展開式中,通項為,當r=1時,它是含x2的項,
的展開式中x2的系數(shù)是:-C71×2=-14,
∴d=-14,
∴數(shù)列{an}的通項公式an=61+(n-1)×(-14)=75-14n,
(2)∵bn=an+15n-75=75-14n+15n-75=n,
=,數(shù)列{}是遞增數(shù)列,
且當n=1時,
由于==,
∴當n→+∞時,,

點評:本小題主要考查排列組合、二項式定理、數(shù)列單調性的應用、數(shù)列與不等式的綜合、不等式的證明等基礎知識,考查運算求解能力,考查極限思想、化歸與轉化思想,易錯點是不能根據(jù)隱含條件得出變量x的值,屬于中檔題.
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d
2
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nTn
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為等比數(shù)列,公比為
 

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