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4.已知函數(shù)f(x)=xex-alnx,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸.
(Ⅰ)求f(x)=a(x-1)(ex-a)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)證明:b≤e時(shí),f(x)≥b(x2-2x+2).

分析 法一:(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用切線的斜率與導(dǎo)數(shù)值的關(guān)系,求出a,利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(Ⅱ)通過(guò)①當(dāng)b≤0時(shí),求出最小值,推出結(jié)果.②當(dāng)0<b≤e時(shí),構(gòu)造函數(shù)g(x)=xex-2elnx-b(x2-2x+2),利用導(dǎo)函數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性,求解最小值,推出結(jié)果.
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)設(shè)g(x)=xex-2elnx-b(x2-2x+2).
(1)當(dāng)b=e時(shí),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后通過(guò)①當(dāng)0<x≤1時(shí),利用函數(shù)的帶動(dòng)下求解最小值.
②當(dāng)x>1時(shí),構(gòu)造函數(shù)Mx=gx=x+1ex+2e2ex+1x,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性證明當(dāng)x>0時(shí),f(x)≥e(x2-2x+2)恒成立.
(2)當(dāng)b<e時(shí),通過(guò)x2-2x+2=(x-1)2+1>0,證明當(dāng)b≤e時(shí),f(x)≥b(x2-2x+2).
解法三:(Ⅰ)同解法一.(5分)
(Ⅱ)設(shè)g(x)=ex-ex,求出極值點(diǎn)x=1,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),利用函數(shù)的單調(diào)性推出g(x)≥g(1)
推出ex≥ex,然后證明結(jié)論.

解答 解:(Ⅰ)因?yàn)?f′(x)=({x+1}){e^x}-\frac{a}{x}x02f1=02ea=0a=2e3f′(x)=({x+1}){e^x}-\frac{2e}{x}$,顯然f′(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增且f′(1)=0,
故當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0.
所以f(x)的遞減區(qū)間為(0,1),遞增區(qū)間為(1,+∞).(5分)
(Ⅱ)①當(dāng)b≤0時(shí),由(Ⅰ)知,當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得最小值e.
又b(x2-2x+2)的最大值為b,故f(x)≥b(x2-2x+2).(7分)
②當(dāng)0<b≤e時(shí),設(shè)g(x)=xex-2elnx-b(x2-2x+2),
所以gx=x+1ex2ex2bx1,(8分)
hx=x+1ex2ex2bx1,x>0,
hx=x+2ex+2ex22b,
當(dāng)x∈(0,1]時(shí),2ex22b0,(x+2)ex>0,所以h′(x)>0,….(9分)
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),(x+2)ex-2b>0,2ex20,所以h′(x)>0,….….(10分)
所以當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),h′(x)>0,故h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
又h(1)=0,所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g′(x)<0;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)>0.
所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)x=1時(shí),g(x)取得最小值g(1)=e-b≥0,
所以g(x)≥0,即f(x)≥b(x2-2x+2). (11分)
綜上,當(dāng)b≤e時(shí),f(x)≥b(x2-2x+2).(12分)
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)設(shè)g(x)=xex-2elnx-b(x2-2x+2).
(1)當(dāng)b=e時(shí),gx=x+1ex+2e2ex+1x,
(6分)
①當(dāng)0<x≤1時(shí),x+1ex2ex+1x2,所以g′(x)≤0,(7分)
所以g(x)在(0,1]上單調(diào)遞減,所以g(x)≥g(1)=0,即xex-2elnx≥e(x2-2x+2).
(8分)
②當(dāng)x>1時(shí),
Mx=gx=x+1ex+2e2ex+1x,
Mx=x+2ex+2ex22e3e2e0,
所以M(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,(9分)
即g′(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,所以g′(x)>g′(1)=0,
所以g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)>g(1)=0,即xex-2elnx>e(x2-2x+2).
故當(dāng)x>0時(shí),f(x)≥e(x2-2x+2)恒成立.(10分)
(2)當(dāng)b<e時(shí),因?yàn)閤2-2x+2=(x-1)2+1>0,
所以e(x2-2x+2)>b(x2-2x+2),(11分)
由(1)知,f(x)≥e(x2-2x+2),所以f(x)>b(x2-2x+2).
綜合(1)(2),當(dāng)b≤e時(shí),f(x)≥b(x2-2x+2).(12分)
解法三:(Ⅰ)同解法一.(5分)
(Ⅱ)設(shè)g(x)=ex-ex,則g′(x)=ex-e,
令g′(x)=ex-e=0,得x=1,(6分)
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g′(x)<0,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)>0;
所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,(8分)
所以g(x)≥g(1)=0,(9分)
所以ex≥ex,所以x≥lnex,即lnx≤x-1.(10分)
因?yàn)閎≤e,x2-2x+2=(x-1)2+1>0,x>0,
所以f(x)=xex-2elnx≥ex2-2e(x-1)=e(x2-2x+2)≥b(x2-2x+2).(12分)

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力等,考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想等.

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